大题强化及变式训练（6）-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练（新高考九省联考题型）

2024届大题强化训练及变式训练（6） 1．如图，在四棱台中，下底面是平行四边形，，，，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角正弦值． 变式：如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为为圆台下底面的一条直径，圆上点满足是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且. （1）证明：平面平面； （2）若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值. 2．已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若对任意，求的最小整数值． 变式：已知数列前n项和为，，且． (1)求数列通项； (2)设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围． 3． 某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1，2，3的空心小球，球内装有难度不同的谜语．每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏．已知标号为1，2，3的小球个数比为1：2：1，且取到异号球的概率为． （1）求盒中2号球的个数； （2）若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序（猜对谜语的概率相互独立） 球号 1号球 3号球 答对概率 0.8 0.5 奖金 100 500 变式：某公司生产某种出口商品，为严把质量关，对每件商品请3位专家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件商品位专家都认为质量过关，则该商品质量为级；（ii）若仅有位专家认为质量不过关，再由另外位专家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这位专家都认为质量过关，则该商品质量为级，若第二次质量把关这位专家中有位或位认为质量不过关，则该商品质量为级；（iii）若有位或位专家认为质量不过关，则该商品质量为级．已知每一次质量把关中一件商品被位专家认为质量不过关的概率为，各商品质量是否过关相互独立． （1）对两件商品进行质量把关，求两件商品质量均为级的概率； （2）若一件商品质量为级，则该商品可出口外销，且利润分别为元，元，元，若一件商品质量为级，则不能出口外销，利润记为元．记件商品的利润为元，求的分布列与数学期望． 4．已知矩形中，分别是矩形四条边的中点，以矩形中心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线上的动点满足. （1）求直线与直线交点的轨迹方程； （2）当时，过点的直线（与轴不重合）和点轨迹交于两点，过点作直线的垂线，垂足为点.设直线与轴交于点，求面积的最大值. 变式：已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴． （1）求椭圆的方程； （2）直线斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 5．已知函数． （1）若函数有3个不同的零点，求a的取值范围； （2）已知为函数的导函数，在上有极小值0，对于某点，在P点的切线方程为，若对于，都有，则称P为好点． ①求a的值； ②求所有的好点． 变式：帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为． （1）求实数a，b的值； （2）比较与的大小； （3）若在上存在极值，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届大题强化训练及变式训练（6） 1．如图，在四棱台中，下底面是平行四边形，，，，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【分析】（1）利用平行四边形性质及余弦定理求出，进而证得，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得. （2）由已知证得平面，再以为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得. 【解析】（1）中，由，得，而， 在中，由余弦定理，得， 则，即，又，， 平面，因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）在四棱台中，由，得，有， 在梯形中，，过作交于点， 则，又，显然，则，即， 又平面，于是平面， 以为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量为，则，令，得， 而，设与平面所成角大小为， 因此， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 变式：如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为为圆台下底面的一条直径，圆上点满足是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且. （1）证明：平面平面； （2）若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）取中点，四边形为平行四边形，从而得到，根据平面可得平面，从而得到