6.3平面向量基本定理及坐标表示讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一下学期数学讲义 6.3 平面向量的基本定理和坐标表示 课前小测 5 一、 平面向量的基本定理 6 ① 基底的概念和辨析 6 ② 用基底表示向量 7 ③ 平面向量基本定理的应用 9 二、 平面向量的正交分解及坐标表示 11 ① 正交分解 11 ② 用坐标表示平面向量 11 三、 平面向量加减法运算的坐标表示 13 ① 线性运算的坐标表示 13 ② 由线性运算结果求参数 14 ③ 坐标的线性运算解决几何问题 14 ④ 由线性运算解决最值和范围问题 14 四、 平面向量数乘运算的坐标表示 16 ① 由坐标判断向量是否共线 16 ② 由向量共线求参数 16 ③ 由坐标解决三点共线问题 17 五、 平面向量的数量积的坐标表示 18 ① 数量积的坐标表示 18 ② 向量模的坐标表示 19 ③ 用坐标求向量的单位向量 19 ④ 利用坐标求向量的投影和投影坐标 21 ⑤ 向量垂直的坐标表示 22 ⑥ 利用向量垂直求参数 22 ⑦ 向量夹角的坐标表示 23 要点一：平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，，使，称为的线性组合. ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的. 这说明如果且，那么, ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 重点： 基底要求：①基底向量不共线②不是零向量 2．如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不供线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量，平面上的任何一个向量都可以用唯一表示为，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有的代数运算． 要点二：向量的夹角 已知两个非零向量与，在平面上任取一点O，作，，则叫做与的夹角，记为〈，〉． 当向量与不共线时，与的夹角； 当向量与共线时，若同向，则；若反向，则，综上可知向量与的夹角． 当向量与的夹角是，就说与垂直，记作 要点诠释： （1）向量夹角是指非零向量的夹角，零向量与任何向量不能谈夹角问题． （2）向量是两向量夹角的特殊情况，可以理解为两向量所在直线互相垂直． 要点三：平面向量的坐标表示 1．正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 要点诠释： 如果基底的两个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式． 2．平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x,y,唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 要点诠释： （1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中, （2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若A，B，则； （3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 要点四：平面向量的坐标运算 1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运 算 坐标语言 加法与减法 记, , 实数与向量的乘积 记 ，则 2．如何进行平面向量的坐标运算 在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题： （1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等． （2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．