精品解析：上海市七宝中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题

2023-2024学年上海市七宝中学高一年级下学期 开学考数学试卷 2024.2 一、填空题 （本大题共有12小题，满分54分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，，则____． 2. 在单位圆中，长度为的弦所对的劣弧长是______. 3. 函数的定义域为________. 4. 已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是________. 5. 设都非零常数，且满足，则______.（结果用表示） 6. 已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，则___________. 7. 已知关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是______. 8. 若实数满足，且，则______. 9. 对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 10. 在中，，则当取最大值时，___________. 11. 已知函数的值域是,当时，实数的取值范围是______. 12. 定义：关于的两个不等式，的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式，如果不等式与不等式为对偶不等式，则______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13 设，若，则（ ）. A. B. C. D. 14. 化简的结果为（ ） A. B. 1 C. D. 15. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是（ ） A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 16. 已知，有下列两个结论； ①存在在第一象限，在第三象限； ②存在在第二象限，在第四象限； 则（ ） A ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 三、解答题 （本大题满分78分） 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知函数（，常数）． （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在上为增函数，求实数的取值范围 18. 已知，，且. （1）求的值； （2）求. 19. 如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径，与之间的夹角为． （1）当时，求边的长.（结果保留两位小数） （2）求矩形的面积最大值是多少？（结果保留两位小数） 20. 已知函数，． （1）解方程 （2）当时，有最大值为1，求实数的值； （3）若方程在上有4个实数解，求实数取值范围． 21. 对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”． （1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”； （2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围； （3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年上海市七宝中学高一年级下学期 开学考数学试卷 2024.2 一、填空题 （本大题共有12小题，满分54分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，，则____． 【答案】## 【解析】 【分析】由交集的定义和运算直接得出结果. 【详解】集合， 所以. 故答案为： 2. 在单位圆中，长度为的弦所对的劣弧长是______. 【答案】 【解析】 【分析】由单位圆中的弦长，求出弦所对的劣弧的圆心角，可求弧长. 【详解】单位圆中，弦长度为，为中点， 则有， ，， 由，得， 弦所对的劣弧，所对的圆心角为，则， 由圆的半径为1，所以弦所对的劣弧长等于. 故答案为： 3. 函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【详解】要使有意义，须，即，解得或，即函数的定义域为；故答案为. 4. 已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解. 【详解】因为q的一个充分不必要条件是p， 所以是的一个真子集， 则，即实数a的取值范围是. 故