第1讲 导数的定义 讲义-2023-2024学年高二数学人教A版2019选择性必修第二册

导数系统班-同步 第1讲 导数的定义 知识点一 导数的定义 例1 已知函数，求自变量x在以下的变化过程中，该函数的平均变化率： （1）自变量x从1变到1.1； （2）自变量x从1变到1.01； （3）自变量x从1变到1.001． 估算当时，该函数的瞬时变化率． 例2 已知函数在处的导数为，则（    ） A． B． C． D． 练1 判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）在平均变化率中，函数值的增量为正值.( ) （2）函数（c为常数）在区间上的平均变化率为0.( ) （3）瞬时变化率是刻画某函数在区间上函数值变化快慢的量.( ) （4）在瞬时变化率中，Δt可以为零.( ) 练2 已知为的导数，且，则（ ） A． B． C． D． 练3 已知函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 练4 若定义在上的函数满足，其导函数满足，则与大小关系一定是（    ） A． B． C． D． 知识点二 瞬时变化率的计算 例1 物体在自由落体运动中，根据，估算物体在时的瞬时速度． 练1 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位：）为，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义． 练2 已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，假设秒时的速度为，求当秒时轿车的瞬时加速度． 练3 物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ． 练4 投石入水，水面会产生圆形波纹区，且圆的面积随着波纹的传播半径的增大而增大（如图）．计算：    (1)半径从增加到时，圆面积S相对于的平均变化率； (2)半径时，圆面积S相对于的瞬时变化率． 【强化训练】 1.导数的概念及其意义 （1）函数的平均变化率：对于函数y＝f（x），设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f（x0）变化到f（x0＋Δx）. 这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝ . 我们把比值，即＝叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率. （2）导数的概念：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f（x）在x＝x0处 ，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为 ），记作 或y′|x＝x0，即f′（x0）＝lim ＝lim . （3）导数的几何意义：函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的 . 也就是说，曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率是f′（x0）. 相应的切线方程为 （4）导函数的概念：当x＝x0时，f′（x0）是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f′（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的 （简称导数）. y＝f（x）的导函数有时也记作y′，即f′（x）＝y′＝lim . 2.判断下列说法是否正确，对的填“正确”，错的填“错误”. （1）若定义在上的函数满足，则函数是上的增函数； （2）若定义在上的函数满足，则函数在上不是减函数； （3）若定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数； （4）若定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数. 3.设函数存在导函数，且满足，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 4.若，，函数满足，，则函数可能是（其中且）（    ） A． B． C． D． 5.运动员从10m高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．设起跳t s后运动员相对水面的高度（单位：m）为，计算在2 s时运动员的瞬时速度． 6.已知车辆启动后的一段时间内，车轮旋转的角度和时间（单位：秒）的平方成正比，且车辆启动后车轮转动第一圈需要1秒． (1)求车轮转动前2秒的平均角速度； (2)求车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$导数系统班-同步 第1讲 导数的定义 知识点一 导数的定义 例1 已知函数，求自变量x在以下的变化过程中，该函数的平均变化率： （1）自变量x从1变到1.1； （2）自变量x从1变到1.01； （3）自变量x从1变到1.001． 估算当时，该函数的瞬时变化率． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】利用平均变化率与瞬时变化率的定义求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以自变量x从1变到