5.2 导数的运算讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2 导数的运算 明确学习目标 课标要求 1.熟悉掌握基本初等函数的导数公式；2.掌握导数的运算法则；3.理解复合函数概念并能求复合函数的导数；4.理解并能求解切线方程。 重点难点 1.熟悉掌握基本初等函数的导数公式；2.掌握导数的运算法则；3.理解复合函数概念并能求复合函数的导数；4.理解并能求解切线方程。 知晓结构体系 1夯实必备知识 一、基本初等函数的求导公式 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα，(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax (a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 注意点：. (1)若所求函数符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导． (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导． (3)要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别． (4)对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝. 二、导数的四则运算法则 两个函数和或差的导数法则： [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． 注意点：推广[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)． 两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用导数的运算法则即可． 对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． ′＝(g(x)≠0)． 注意点：对于(logax)′＝，我们可以先换底再求导：(logax)′＝′＝·(ln x)′＝. 利用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式． (2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 三、简单复合函数的导数 1、复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2、复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． 3、步骤 　(1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 四、利用导数求曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：求导. 第二步：求斜率. 第三步：列式：求解切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设元：设切点 第二步：求斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2提升学科能力 题点一 导数公式的基本计算 【典例分析1】 （23-24高二下·全国·课时练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7). 【变式训练1】 1．（23-24高二上·江苏·课前预习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 2．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列求导结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知，则（    ） A．0 B． C．2 D．3 4．（20-21高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，若，则 ． 题点二