上海市育才中学2023-2024学年高三下学期第一次调研（3月）数学试卷

2024届高三下学期第一次调研数学试卷（2024.3） （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，其中1-6每题4分，7-12每题5分） 1．已知集合，，则=________． 2．已知复数z满足（i是虚数单位），则z=________． 3．若是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角大小为________． 4．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为________． 5．已知，则=________． 6．某产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 a 50 70 己知y关于x的线性回归方程为，则表格中实数a的值为________． 7．高三年级某8位同学的体重分别为45，50，55，60，70，75，76，80（单位：kg），现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是________． 8．某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为________． 9．已知数列是等比数列，且．设，数列的前n项和为，则________． 10．将函数的图象向左平移θ个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则=________． 11．若正数a，b满足，则最小值是________． 12．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样木之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设,，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知点,，则的最大值为________． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分） 13．“”是“”的（ ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．非充分非必要 14．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OC上，且，N为AB的中点，则=（ ） A． B． C． D． 15．已知、分别为随机事件A、B的对立事件，，，则下列等式错误的是（ ） A． B． C．若A、B独立，则 D．若A、B互斥，则 16．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物．曲线C：为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ） ①方程，表示的曲线在第二和第四象限； ②曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2； ③曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4π； ④曲线C上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 已知，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=． （1）求证：BD⊥平面PAC； （2）求点C到平面PBD的距离． 18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 已知函数 （1）求的单调递增区间； （2）在中，a,b,c为角A,B,C的对边，且满足，，求角A的值，进而再求的取值范围． 19.（本题满分14分，本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第i题的难度，为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下： 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 16 16 14 14 4 （1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数； （2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望； （3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设为第i题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理． 20.（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆Γ：的左，右焦点分别为F1，F2，设P是第一象限内Γ上的一点，PF1、PF2的延长线分别交Γ于点Q1、Q2． （1）求的周长；