7.1 复数的概念（8大题型）-2023-2024学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）

7.1 复数的概念 1、了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程； 2、理解在数系的扩充中由实数扩展到复数集出现的一些基本概念； 3、掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件； 4、理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 5、掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念； 6、掌握用向量的模来表示复数的模的方法。 一、复数的有关概念 1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． 4、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 二、复数的分类 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 三、复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 四、复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 五、共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. 示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i. 【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． 题型一 复数的实部与虚部 【例1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知复数，则的实部是（ ） A．2 B．0 C． D． 【变式1-1】（22-23高一下·新疆喀什·期中）设复数，则的虚部为（ ） A．4 B．-4 C．4i D．-4i 【变式1-2】（23-24高二上·云南大理·期末）已知复数，则的虚部为（ ） A．1 B． C． D． 【变式1-3】（22-23高一下·江苏淮安·期中）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为 ． 题型二 复数的分类及应用 【例2】（22-23高一·全国·课时练习）在，，，，0.618这五个数中，纯虚数的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-1】（22-23高一·全国·课时练习）设C为复数集，R为实数集，I为虚数集，M为纯虚数集，则下列式子中不正确的是 （请填代号）． ①； ②； ③； ④． 【变式2-2】（22-23高一下·河南·期中）设，复数，其中为虚数单位，若为纯虚数，则 . 【变式2-3】（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）当实数取什么值时，复数是下列数？ （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数. 题型三 复数相等及简单应用 【例3】（22-23高一下·河南商丘·阶段练习）适合的实数x、y的值为（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式3-1】（22-23高一下·新疆和田·期末）若，其中，是虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】