专题2-3 平行线与相交线的3类动态问题与常考压轴题-2023-2024学年七年级数学下册模型·方法·技巧专题突破（北师大版）

专题2-3 平行线与相交线的3类动态问题与常考压轴题 知识点梳理 1 题型一 角平分线与余角，补角相关的角度计算问题 2 题型二 平行线中的动态问题 6 题型三 平行线中的其他综合问题 9 知识点梳理 平行与相交是初中几何的基础知识，关系到后面几何证明的学习，本节针对平行线与相交线相关的动态问题与综合问题进行探究，其中涉及到几种解题思路，具体是方程思想，整体与局部思想，分类讨论思想。 1、方程思想 方程思想在计算角度中常见，遇到连比的角度或者倍数、和差关系，可以用方程的思想解题。在解题的过程中，找到有关未知量的等量关系，列出方程或方程组从而求解。 例题1：直线l1∥l2，l3∥l4，∠1比∠2的3倍少20°，则∠1、∠2的度数是多少？ 分析：直接利用平行线的性质，得出∠1＝∠3，∠2＋∠3＝180°，进而求出答案。 ∴设∠2＝x，则∠1＝3x－20°，故x＋3x－20°＝180°， 解得：x＝50°，故∠1＝130°，∠2＝50°． 2、分类讨论思想 例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是多少度？ 分析：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．设一个角为 x 度．则另一个角为（4 x－30）度．依据上面的性质得出方程，求出方程的解即可。 解：设一个角为 x 度，则另一个角为（4 x－30）度， ∵如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ∴4x－30＝x 或4x－30＋x＝180， 解得：x＝10或 x＝42， 当 x＝42时，4x－30＝138， 即这两个角是10°、10°或42°、138° 题型一 角平分线与余角，补角相关的角度计算问题 【例题讲解】 1． 如图，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为 ． 2． （2023七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3． 已知，如图，把直角三角形的直角顶点放在直线上，射线平分． （1）如图1，若，求的度数． （2）若，则的度数为　　． （3）由（1）和（2），我们发现和之间有什么样的数量关系？ （4）若将三角形绕点旋转到如图2所示的位置，试问和之间的数量关系是否发生变化？请说明理由． 【巩固练习】 4． 如图，，平分，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确个数为 ． 5． （2023七年级下·广东深圳·期中）如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点、，下列结论：①；②；③当时，；④当点运动时，的数量关系不变．其中正确结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6． （2023七年级下·辽宁·阶段练习）12．（2023七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线与相交于点O，平分，平分． (1)的补角是 ； (2)若，求； (3)判断射线与射线有什么位置关系，并说明理由． 7． 如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，、是三角板的两条直角边，射线是的平分线． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数； (3)当时，则__________（用含的式子表示）． 8． 如图1，在同一个平面上，已知点O为直线上一点，将三角板（）按如图所示放置，且直角顶点与O重合，三角板可绕点O旋转，设（），点F在线段上． (1)【问题探究】已知，且，通过计算说明：平分； (2)【类比探究】当三角板绕点O旋转到图2位置时，平分，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系为______． 9． 直线相交于点O，过点O作． (1)如图（1），若，求的度数． (2)如图（2），作射线使，则是的平分线．请说明理由． (3)在图（1）上作，写出与的数量关系，并说明理由． 10． 已知：O是直线上的一点，是直角，平分钝角．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒（），请探究和之间的数量关系． 题型二 平行线中的动态问题 【例题讲解】 11． 如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，． （1）的度数是　　，的度数是　　； （2）当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律； （3）当点运动到使时，的度数是多少？ 12． 如图，射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D． （1）当时，