5.3.2函数的极值与最大（小）值（1） 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2函数的极值与最大（小）值（1） 苏轼在《题西林壁》中这样写道：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的就是江西庐山的高低起伏，错落有致。 在数学上，这种现象如何来刻画呢？ 你能抽象出函数图象吗？ 群山之巅，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点 情境导入 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减。 如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律?   对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？ 如图，观察函数y=f (x)在x=a、b、c、d、e等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f (x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y=f (x)的导数的符号有什么规律？ x y O a b c d e 探究2：P90探究： 如图观察，函数y=f (x)在x=a、b、c、d、e等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f (x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y=f (x)的导数的符号有什么规律？ x y O a b c d e o a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f(x) f(x) o a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f(x) f(x) 增 f(x) >0 f(x) =0 f(x) <0 极大值 减 f(x) <0 f(x) =0 增 减 极小值 f(x) >0 如何判断f (x0)是极大值或是极小值？ 左正右负为极大，右正左负为极小 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 深度理解概念 思考1：一个函数的极大值或极小值是唯一的吗？上 不一定 思考2：任何一个函数一定有极大值或极小值吗？上述图, 不一定 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 注意:极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小. o a x1 x2 x3 x4 b x y P(x1,f(x1)) y=f(x) Q(x2,f(x2)) 思考4：一个函数的极小值一定小于极大值吗？ 不一定 思考3：极值点可能是区间端点吗？ 深度理解 不可能 若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可? 探索: x =0是否为函数f(x)=x3 的极值点? x y O f (x)x3 f(x)=3x2 当f(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点. f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0 注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 思考5：若f '(x0)=0，则x0一定是极值点吗？ 例1. 如图，根据图象回答问题: （1）若图是函数y=f(x)的图象，指出哪些是函数y=f(x)的极大值点，哪些是极小值点. x y a x1 x2 x3 x4 x5 x6 b 解： 极小值点有： 极大值点有： ； x1， x5 x3， x6 . 会识图 变式:P92练习1:下图是导函数y=f′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. a b x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 会识图 函数 的图象如图． 解： 当x变化时， 的变化情况如下表： + 0 － 0 + 极大值 2 (-2,2) -2 y x 极小值 令 ，解得 当 时，y有极大值，并且 当 时，y有极小值，并且 例2. 求函数 的极值． 求可导函数f(x)极值的 步骤： (2)求导数f′(x)； (3)求方程f′(x)=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 检查f′(x)在方程根左右的符号—— 如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值； (1) 确定函数的定义域； 方法总结 1.如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值. 注意 2.函数的极值点还可能出现在不可导点处，如 练习：求 的极值