总复习 4 正比例和反比例-【良师教案】2023-2024学年六年级下册数学同步教案（北师大版）

'U -KJBP BOJBOH TIJ 世界上屈指可数的女数学博士。 诺德在微分不等式、环和理想子群等方面的研究作出了杰出的贡献。但由 于当时妇女地位低下,她连讲师都评不上,在大数学家希尔伯特的强烈支持下, 诺德才由希尔伯特的“私人讲师”成为哥廷根大学第一名女讲师。接下来,由于 她科研成果显著,又是在希尔伯特的推荐下,取得了“编外副教授”的资格,虽然 她比很多“教授”更有实力。 诺德热爱数学教育事业,善于启发学生思考。她终生未婚,却有许许多多 “孩子”。她与学生交往密切,和蔼可亲,人们亲切地把她周围的学生称为“诺德 的孩子们”。我国代数学家曾炯之就是诺德“孩子们”中的一个。 在希特勒的淫威下,诺德被迫离开哥廷根大学,去了美国工作。在美国,她 同样受到学生们的尊敬和爱戴,同样有她的“孩子们”。1934年9月,美国设立 了以诺德命名的博士后奖学金。不幸的是,诺德在美国工作不到两年,便死于外 科手术,终年53岁。她的逝世,令很多数学同僚无限悲痛。爱因斯坦在《纽约时 报》发表悼文说:“根据现在的权威数学家们的判断,诺德女士是自妇女受高等教 育以来最重要的富于创造性的数学天才。” 这节课的教学重点是让学生掌握找准实际问题中所反映的等量关系式的方 法,并列出相应的方程。课堂上,我给学生较大的发挥空间,让学生自己回忆知 识,并自主练习,小组交流,取得了较好的教学效果。 但本节课的教学也有一些需要加以改进的地方。第一,本节课复习的重点 是找准等量关系式。在进行列方程解应用题时,只让学生说出等量关系式是什 么,而没有让成绩中、下等水平的学生再说一说关键句是什么,是根据哪句话找 出来的,让他们知道怎样去找等量关系。第二,列方程解应用题与算术解法的不 同在于,算术解法要考虑的是怎么解决问题,而方程解法只要找出数量间的相等 关系再列式就可以了,因此方法比较多,解答起来比较容易,这是方程解法的优 势。而在本节课上因为写的字比较多,做题比较费时,并且本节课的内容比较 多,因此课堂上教师忽略了引导学生从不同角度找出不同的数量关系式,从而可 以列出不同的方程,而仅满足于学生用方程作出了这道题就可以了,没有做到让 学生真正地认识到用方程解题的优势。 4.正比例与反比例 本节课是复习课,旨在让学生再次巩固正比例和反比例的知识,并再一次经 历将一些实际问题抽象成数学问题的过程。通过生活中的正、反比例,学生进一 步体会事物之间的联系和区别。 481 !" Ljiao aniang shi 在用比例来解决问题的时候,有部分学生没有完全掌握判断正、反比例的方 法,所以在复习正、反比例的应用时应注重数量关系的分析,并且在分析的过程 中注重让学生对生活经验加以深化和理解,同时在练习过程中,要注重循序渐进 的过程。 1.学生用不同的方式来描述两个变量之间的关系。 2.加深学生对正、反比例意义的理解,体会它们在生活中的重要作用。 3.培养学生初步的函数思想。 重点 1.理解变量之间的关系。 2.培养学生初步的函数思想。 难点 掌握正、反比例的相关知识,掌握判断正、反比例的方法。 小黑板、投影仪。 一、复习导入 1.举例说明什么是比,什么是比例,以及它们的应用。 比表示两个数相除,如5除以4,也就是5∶4,比例是表示两个比相等的式 子,如5∶4=10∶8。 2.填一填,并说一说比、分数、除法之间的联系。 3∶5= ( ) ( )= ( )÷( ) a∶b= ( ) ( )= ( )÷( )(b≠0) 比的前项相当于分数的分子,除法中的被除数,比号相当于分数中的分数 线,除法中的除号;比的后项相当于分数的分母,除法中的除数。 3.完成课本第83页第3题。 [第(1)题:1∶6000表示图上距离1 cm,实际距离60 m;第(2)题:24000÷ 6000=4(cm);第(3)题:0.01×6000×0.005×6000=1800(m2)] 4.让学生举一个正、反比例的例子,并说一说哪些成正比例的量,哪些成反 比例的量。 (1)以小组为单位说一说。 581 总复习 'U -KJBP BOJBOH TIJ (2)指名学生说一说。 5.表示正、反比例的关系式分别是什么? 学生回答后教师板书。 正比例:y x=k (一定) 反比例:xy=k(一定) 6.完成课本第83页第5题。 本题考查学生对正比例意义和正比例图象的掌握。 二、归纳比较 1.师:请同学们用你们最喜欢的方式表示出正、反比例的异同点。 小组讨论、交流。 2.全班交流,教师总结。 正比例 反比例 相同点 都有一个不变量、两个变量 不同点 比值(商)一定,即x y =k(一定) 积一定,即xy=k(一定) 3.讨论:如果我们用a,b,c表示三种量,用a×b=c表示它们的关系,那么 它们之间存在怎样的比例关系呢? (1)学生独立思考。 (2)指名学生回答。 (3)归纳板书: ①a 一定,b和c成正比例。 ②b一定,a 和c成正比例。 ③c一定,b和a 成反比例。 师:为什么根据一个乘法算式就能判断两种相关联的量成什么比例呢? (根据乘、除法互为逆运算的关系,积相当于除法中的被除数,两个因数分别 相当于除数和商) (4)师:请同学们自己列举一个熟悉的三种数量关系,说一说它们存在怎样 的比例关系。 三、巩固与应用 1.下面表格中的两个量是否成正比例或成反比例? 为什么? (课本第85页 的第6题) (1)输液时,一小瓶葡萄糖液均匀滴落时,每分滴数与所需时间的关系如下。 每分滴数/滴 60 50 40 30 … 时间/分 20 24 30 40 … (2)妙想的身高与体重的关系如下。 身高/cm 100 110 120 130 … 体重/kg 17 20 25 31 … 681 !" Ljiao aniang shi (3)体积一定,圆柱的底面积和高的关系如下。 底面积/dm2 0 300 200 150 120 100 … 高/dm 0 2 3 4 5 6 … 请同学们用自己的语言说一说理由。 2.判断下面每题中的两个量是否成正比例或反比例。 (1)一个正方形的边长与它的面积。 (2)三角形的面积一定,它的底和高。 (3)出油率一定时,香油质量与芝麻的质量。 (4)一捆100 m长的电线,用去的长度与剩下的电线长度。 3.磁悬浮列车匀速行驶时,路程与时间的关系如下。(课本第85页的第7题) 时间/min 0 1 2 3 4 5 … 路程/km 0 7 14 21 28 35 … 1 2 3 4 35 28 21 14 !"/ mk 5 #$/min 7 A (1)途中的点A 表示时间为1 min时,磁悬浮列车驶过的路程为7 km。请 试着描出其他各点。 (2)连接各点,它们在一条直线上吗? (3)列车运行2.5 min钟时,行驶的路程是多少千米? 4.育才小学六年级同学从学校出发,乘车0.5 h,来到离学校5 km的科技 馆,参观1 h,出馆后休息0.5 h,然后乘车0.5 h回学校。请画出六年级学生的 行程图。 0.5 1 1.5 2 5 4 3 2 !"/ mk 2.5 #$/h 1 四、课堂小结 通过刚才的复习,同学们有什么收获? 还有什么问题吗? 781 总复习 'U -KJBP BOJBOH TIJ 正比例:yx=k (一定) 反比例:xy=k(一定) ab=c时, ①a 一定,b和c成正比例; ②b一定,a 和c成正比例; ③c一定,b和a 成反比例。 1.填空题。 (1)a÷b=c,当c一定时,a 和b( );当a 一定时,b和c( );当b一 定时,a 和c( )。 (2)长方形的( )一定时,它的长和面积成正比例。 (3)圆柱体的体积一定时,( )和高成反比例。 【答案】 (1)成正比例 成反比例 成正比例 (2)宽 (3)底面积 2.判断下列变化的量成什么比例。 (1)和一定,一个加数与另一个加数。 ( ) (2)长方体的体积一定,底面积与高。 ( ) (3)比例尺一定,图上距离与实际距离。 ( ) (4)平行四边形的面积一定,底和高。 ( ) (5)圆的周长和半径。 ( ) (6)圆的面积和半径。 ( ) (7)工效一定,工作量与工作时间。 ( ) (8)7x=8y,x 和y。 ( ) (9)全校学生人数一定,每排人数和所站的排数。 ( ) 【答案】 (1)不成比例 (2)成反比例 (3)成正比例 (4)成反比例 (5) 成正比例 (6)不成比例 (7)成正比例 (8)成正比例 (9)成反比例 3.解决问题。 (1)一台拖拉机25天耕地3公顷。按同样的工作效率耕地40天,可以耕地 多少公顷? (用比例解) (2)农场收割小麦,每天收割150亩,6天刚好收割完。如果要提前1天收 割完,每天应收割多少亩? (用比例解) (3)星期天,王明从家出发步行0.5小时到离家2000 m的图书馆看了1小 时的书,然后步行0.5小时返回家中,哪幅图描述了这一行程,在□里打“√”。 881 !" Ljiao aniang shi 0.5 1 1.5 2 2.5 !"/h 2500 2000 1500 1000 500 0 #$/m 0.5 1 1.5 2 2.5 !"/h 2500 2000 1500 1000 500 0 #$/m ① ② (4)某人走12千米路程,他行走的速度与所用的时间关系如下表。 速度/(km/h) 1 2 3 4 5 6 时间/h 12 6 4 3 2.4 2 0 1 2 3 4 5 6 12 10 8 6 4 2 !"/h #$/（ m/ ）k h ①根据上表数据,在上图中找出各点,并依次连接。 ②如果以1.5 km/h的速度,大约需要( )时才能走完。 ③如果想用3 h走完,速度应达到( )km/h。 ④从图表中,你发现了什么? 【答案】 (1)4.8公顷 (2)180亩 (3)①√ (4)①略 ②8 ③4 ④速度和时间成反比例。 有一块长方形的玻璃,面积是72 dm2。只知道这块玻璃的长和宽都是整 数。你知道这块玻璃的长和宽各是多少分米吗? 有几种不同的情况? 【答案】 长和宽有:1 dm和72 dm;2 dm和36 dm;3 dm和24 dm;4 dm和 18 dm;6 dm和12 dm;8 dm和9 dm六种不同的情况。 乘校车 某小学六年级有6个班级,一共有75人乘坐校车上学。每个班级乘坐校车 981 总复习 'U -KJBP BOJBOH TIJ 上学的人数也互不相同,最多的班级有16人,最少的一班有5人,问按人数从多 到少排第3位的班级,至少有几人乘坐校车? A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 E.13人 F.14人 【答案】 F 由第2位至第5位的人数总和: 75-16-5=54(人) 排第1位的班级有16人,所以排第2位的班级最多会有15人, 而从第3位至第5位的班级最少会有54-15=39人。 在此情况下,3个班平均有13人乘校车, 而排第3位的班级至少有14人乘坐校车上学。 假钞问题 一人拿一张百元钞票到商店买了25元的东西(这25元的东西进价是15 元),店主由于手头没有零钱,便拿这张百元钞票到隔壁的小摊贩那里换了100 元零钱,并找回了那人75元钱。那人拿着25元的东西和75元零钱走了。 过了一会儿,隔壁小摊贩找到店主,说刚才店主拿来换零的百元钞票是假 币。店主仔细一看,果然是假钞。店主只好又找了一张真的百元钞票给小摊贩。 问:在整个过程中,店主一共亏了多少钱财? 【答案】 90元 当你去思考这100元该归谁所有,在不同人之间周转的时候,可能你的大脑 已经很混乱了。不妨通过数学的思想来解决,本题可以通过假设法解决,假设法 对于学数学是很有益处的。 先假设这100元是真的,那么店主在这个过程中是赚了10元,但是事实上, 这张100元是假的,所以100-10=90(元)。 本节复习课目的是通过整理复习,让学生对正比例和反比例的知识有一个 全面的认识,使所学的知识结构化、系统化。由于六年级的学生能够自主对知识 进行整理,构建知识体系,因此在整理回顾时教师让学生用小组合作、自主整理 再进行汇报的形式,让课堂成为学生的课堂,提高学生的学习积极性。在本节课 的教学中,我给学生提供了充分的时间和空间,让学生自主梳理知识,使学生体 会数学知识、方法之间的密切联系。同时,我注重发展学生提出问题、解决问题 的能力,在回顾、整理、巩固、应用的过程中帮助学生再次经历重要概念和方法的 形成过程,使学生不断积累活动经验,体会一些重要的数学思想。 091