专题3-4 外接球与内切球 18 类题型汇总-2023-2024学年高一下学期数学模型·方法·技巧专题突破（人教A版2019必修第二册）

外接球与内切球18类题型汇总 专题3-4 外接球与内切球18类题型汇总 模块一 棱柱和圆柱的外接球 题型1 墙角模型 题型2 对棱相等模型 题型3 棱柱和圆柱的内切球 题型4 汉堡模型（直棱柱，圆柱外接球） 模块二 棱锥的外接球与内切球 题型5 球心在高上（圆锥形） 题型6 垂面模型（被反复考察的模型） 题型7 由2个外心加“中垂线”确定球心 题型8 棱锥的内切球 题型9 两直角三角形的斜边拼接在一起(侧棱是直径) 题型10 折叠模型（涉及二面角） 模块三 圆锥的外接球与内切球 题型11 圆锥的外接球 题型12 圆锥的内切球 模块四 棱台，圆台的外接球与内切球 题型13 棱台，圆台的外接球 题型14 棱台，圆台的内切球 模块五 其它题型 题型15 已知外接球半径求其他量 题型16 棱切球 题型17 外接球相关的最值问题 题型18 构造球解决空间中动点构成的直角问题 知识点梳理 【外接球模型1】——柱体背景的模型 类型一、墙角模型 长方体的外接球（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 类型二、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为，， ，， 列方程组，， 补充：图2-1中，. 第三步：根据墙角模型，，， ，求出. 类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 【外接球模型2】——正弦定理+勾股（锥体背景的外接球模型） 类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径） 正弦定理求大圆直径是通法 1．如图4-1，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出； 事实上，的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出. 2．如图4-2，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ② 3．如图4-3，平面平面，且（即为小圆的直径） 4．题设：如图4-4，平面平面，且（即为小圆的直径） 第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径； 第二步：在中，可根据正弦定理，求出. 类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面，考得比较多） 1．题设：如图5，平面，求外接球半径.（一条侧棱垂直底面） 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②. 2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，的射影是的外心三棱锥的 三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 【外接球模型3】——锥体背景的模型 类型六、折叠模型（二面角模型） 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6) 第一步：先画出如图6所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和； 第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接； 第三步：解，算出，在中，勾股定理： 注：易知四点共面且四点共圆，证略. 类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型 题设：如图7，，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值. 类型八、锥体的内切球问题 1．题设：如图8-1，三棱锥上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心； 第二步：求，，是侧面的高； 第三步：由相似于，建立等式：，解出 2．题设：如图8-2，四棱锥是正四棱锥，求其内切球的半径 第一步：先现出内