精品解析：2024届高三下学期3月适应性考试数学试题(新高考金卷)

新高考金卷2024届全国II卷适应卷（三） 数学试题 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间120分钟； 2．考生答题前请在规定位置填写姓名、班级、考号等相关信息，在答题卡上正确填涂准考证号（或粘贴条形码）并仔细核对自己的信息； 3．选择题请用2B铅笔在答题卡对应的位置准确填涂，非选择题请用黑色字迹签字笔在答题卡的非选择题区域作答；在本试卷及草稿纸上作答，答案无效； 4．考试结束后，本试题、答题卡、草稿纸一并收回，请勿带出考场 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为虚数单位，则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知集合，，若中有且仅有两个元素，则实数的范围为（ ） A. B. C. D. 3. 某生产线正常生产状态下生产产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 10 D. 19 4. 设为双曲线的中心，以双曲线的实轴为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 或2 C. D. 或2 5. 已知平面向量，满足，设，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 2 6. 已知三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，，若满足条件的与存在且唯一，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 8. 已知函数，，点与分别在函数与的图象上，若的最小值为，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 1或3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，圆台的母线与下底面的夹角为，上底面与下底面的直径之比为，为一条母线，且，为下底面圆周上的一点，，则（ ） A. 三棱锥的体积为2 B. 圆台的表面积为 C. 的面积为 D. 直线与夹角的余弦值为 10 设正实数，，且满足，则（ ） A. B. C D. 11. 已知圆：，圆：，动圆与圆外切于点，与圆内切于点圆心的轨迹记为曲线，则（ ） A. 的方程为 B. 的最小值为 C. D. 曲线在点处的切线与线段垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每个地方至少1人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有______种． 13. 已知，则______． 14. 已知的图象关于直线对称，且在上恰有两条对称轴．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设数列的前项和为，为等比数列，且，，，成等差数列． （1）求数列的通项公式： （2）设，数列的前项和为，证明：． 16. 如图所示，在长方体中，，在棱上，且． （1）若，求平面截长方体所得截面的面积 （2）若点满足，求平面与所成夹角的余弦值． 17. 垃圾分类是普惠民生的一项重要国策．垃圾分类不仅能够减少有害垃圾对环境的破坏，减少污染，同时也能够提高资源循环利用的效率．垃圾分类共分四类，即有害垃圾，厨余垃圾，可回收垃圾与其他垃圾．某校为了解学生对垃圾分类的了解程度，按照了解程度分为等级和等级，随机抽取了100名学生作为样本进行调查．已知样本中等级的男生人数占总人数的，两个等级的女生人数一样多，在样本中随机抽取1名学生，该生是等级男生的概率为． （1）根据题意，完成下面的二维列联表．并根据小概率值独立性检验，判断学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关？ 男生 女生 等级 等级 附： 0.05 0.025 0.01 0.005 3841 5.024 6.635 7.879 ，其中． （2）为了进一步加强垃圾分类工作的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛活动．每局比赛由二人参加，主持人和轮流提问，先赢3局者获得第一名并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人提问甲赢的概率为，主持人提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．抽签决定第一局由主持人提问． （i）求比赛只进行3局就结束的概率； （ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布列和数学期望． 18. 已知实数，函数有两个不同的零点． （1）求实数取值范围， （2）设是方程的实根，证明：． 19. 已知直线与抛物线：交于，两点．是线段的中点，点在直线