专题6.3 平面向量基本定理2基底的妙用极速建系法及对角线向量定理（重点题型解题技巧）-2023-2024学年高一数学下学期重难点题型秒杀秘籍与满分必刷（人教A版2019必修第二册）

专题6.3 平面向量基本定理2（重点题型解题技巧） （基底的妙用极速建系法及对角线向量定理） 【题型1 基底的妙用】 【题型2 平面向量极速建系法】 【题型3 对角线向量定理】 题型1 基底的妙用 平面向量的基底求算 技巧总结 解此类问题的关键是设向量在基底下的坐标为，进而根据向量相等列方程求解 通式： 形如1．若向量在空间的一个单位正交基底下的坐标是，则在基底下的坐标是（       ） A． B． C． D． 解：因为向量在空间的一个单位正交基底下的坐标是， 所以， 设在基底下的坐标是， 则， 所以， 则，解得，所以在基底下的坐标是，故选：C. 形如2．已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（       ） A． B． C． D． 解：不妨设向量，，； 则向量，，． 设， 即， ∴解得即在，，下的坐标为．故选：C． 形如3．已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（       ） A． B． C． D． 解：设向量在基底下的坐标为， 则， 所以解得故在基底下的坐标为.故选：C. 形如4．是空间的一个单位正交基底，在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 A． B． C． D． 解：由题意向量，设向量在基底下的坐标为 ， ，所以向量在基底下的坐标为，故选A． 形如5．已知是空间的一个单位正交基底，若向量在基底下的坐标为，则它在基底下的坐标为（       ）． A． B． C． D． 解：由于是空间的一个单位正交基底， 可设向量，，，则向量，， 又向量在基底下的坐标为，不妨设， 则， 即，解得：，所以向量在基底下的坐标为． 故选：D. 1．在△ABC中，，，若点D满足，以作为基底，则等于（    ） A． B． C． D． 2．空间中不共面的三个向量，，可以作为空间向量的一组基底，若，则称在基底下的坐标为，在四面体中，，，．点在上．且，为中点，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若AD与BE分别为的边BC，AC上的中线，设，，则用基底表示为（    ） A． B． C． D． 5．若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．设，是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．设，是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．已知向量是空间的一个单位正交基底，若向量在基底下的坐标为（2，1，3），那么向量在基底，，下的坐标为（  ） A． B． C． D． 12．下列说法中正确的是（    ） A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量 B．在平面向量基本定理中，若，则 C．若单位向量，的夹角为，则在上的投影向量是 D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 13．若是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 14．以下命题中，不正确的为（    ） A．是，共线的充要条件； B．若，则存在唯一的实数，使； C．若，则； D．若，，为空间的一个基底，则，，构成空间的另一个基底； 15．设向量是平面内一个基底，且，则向量可以用另一个基底表示，即 . 16．如图，在正方形ABCD中，设，，，则以为基底时，可表示为 ，以为基底时，可表示为 ． 题型2 平面向量极速建系法 技巧总结 常见的坐标系建立 ①边长为的等边三角形 ②知道夹角的任意三角形 ③正方形 ④矩形 ⑤平行四边形 ⑥ 直角梯形 ⑥ 等腰梯形 ⑦圆 建系原则：尽可能让多个点位于坐标轴上. 解题步骤：第一步： 将已知条件进行坐标处理；第二步： 利