专题6.3 平面向量基本定理1奔驰定理共线定理及基本运算（重点题型解题技巧）-2023-2024学年高一数学下学期重难点题型秒杀秘籍与满分必刷（人教A版2019必修第二册）

专题6.3 平面向量基本定理1（重点题型解题技巧） （奔驰定理共线定理及基本运算） 【题型1 奔驰定理解决面积问题】 【题型2 平面向量共线定理大招】 【题型3 平面向量的基本运算之模长】 题型1 奔驰定理解决面积问题 奔驰定理 技巧总结 Ⅰ：已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 证明过程：如图延长与边相交于点则 ， 推论：已知为内一点， 且．则有 ①． ②． Ⅱ：奔驰定理在三角形四心中的具体形式： （1）是的重心. （2）是的内. （3）是的外心. （4）是的垂心. 考点1、为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（ ） A． B． C． D． 正规方法：由，， ，， 如图设 ，即是的重心， 同理可得，， 所以．故选：． 方法二：奔驰定理 由，， ，， 由奔驰定理得：．故选：． 考点2、在中，角所对的边为，，是中内切圆的圆心，若，则． 解：正规方法（向量的线性表示、数量积、三角形内切圆半径求法） 易求得，而，所以 另一方面，对上式两边同时作数量积得：， 易知，， 所以，所以. 方法二：（奔驰定理）联想到奔驰定理，将转化为 整理为： 由奔驰定理得解之得. 考点3、已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线必过边中点 C. D. 若，且，则 解：对于，插入点，，所以； 对于，若直线过边的中点，则，由上知，不成立； 对于，由奔驰定理知； 对于，由得，两边平方得 . 1．设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 2．已知O为所在平面内的一点，且满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 3．为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（    ） A． B． C． D． 4．设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比为（    ） A．2:1 B．3:2 C．3:1 D．5:3 5．设O是的外心，满足，，若，则的面积是 A．4 B． C．8 D．6 6．已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（    ） A． B． C． D． 7．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点是的重心 C．若，则点的轨迹必过的内心 D．若，且，则的面积是面积的 8．点在所在的平面内，（    ） A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心 B．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心 C．若，，分别表示，的面积，则 D．已知三个内角，，的对边分别是，，，若，则点为的内心（内切圆圆心） 9．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则点､､三点共线 C．若点是的重心，则 D．若且，则的面积是面积的 10．已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．3 11．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则 ． 12．设是正实数，三角形所在平面上的另三点、、满足：，，，若三角形与三角形的面积相等，则的值为 . 13．所在的平面内有一点，满足，则与的面积之比为 . 14．已知为的重心，过点的直线与边分别相交于点，若,则与的面积之比为 . 题型2 平面向量共线定理大招 平面向量共线定理 技巧总结 定理1：已知，若，则三点共线；反之亦然 平面向量共线定理证明 若点互不重合，是三点所在平面上的任意一点，且满足，则三点共线. 证明:(1)由三点共线.由得 . 即，共线，故三点共线. (2)由三点共线. 由三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有. 推广1：分点恒等式 ①当为中点时； ②当； ③当时； ④当时， ⑤当时，④中的结论仍然成立 结论：分点恒等式：在中，为直线上一等分点，当时， 有 分点恒等式变形： 在中，是上的点，如果，则 考点1、当时，如何理解？ 解：在上取一点，， 则 考点2、在平行四边形中中，和分别是和边上的中点，且,其中，则__________