专题6.2 平面向量的运算（重点题型解题技巧）-2023-2024学年高一数学下学期重难点题型秒杀秘籍与满分必刷（人教A版2019必修第二册）

专题6.2 平面向量的运算（重点题型解题技巧） 【题型1 向量加法与减法的法则】 【题型2 投影向量的秒解】 【题型3 平面向量涉及四心问题】 题型1 向量加法与减法的法则 ①向量加法与减法的法则： 平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和. 图形表示： 字母表示：， 坐标表示：记，则 三角形法则：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 图形表示： 字母表示： 坐标表示：记，则 考点1：已知，，，为平面上的四个点，则 . 破解：. 故答案为：. 考点2：如图，正六边形中， . 破解：将平移到，平移到，根据平面向量的加法运算即可求解. 将平移到，平移到， 故. 故答案为:. 考点3： . 破解：， . 故答案为： 考点4：化简下列各式： (1)；(2)；(3)； 破解：（1）； （2）； （3）. 1．在四边形ABCD中，，则（　 　） A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形 C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形 2．化简等于（    ） A． B． C． D． 3．向量 （    ） A． B． C． D． 4．已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．在平行四边形ABCD中，（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 8．化简 （    ） A． B． C． D． 9．化简：（    ） A． B． C． D． 10．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 11．下列说法错误的是（     ） A． B．、是单位向量，则 C．若，则 D．任一非零向量都可以平行移动 12．已知在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 13．下列向量关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 14．在中，（    ） A． B． C． D．0 15．如图所示，在平行四边形ABCD中，，，则用，表示向量和分别是（    ） A．＋和－ B．＋和－ C．－和－ D．－和＋ 16．如图，在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 17．已知正方形的边长为1，则（    ） A．0 B． C． D．4 18．化简以下各式，结果为的有（    ） A． B． C． D． 19．已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 20．下列结果恒为零向量的是（    ） A． B． C． D． 21．下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2 投影向量的秒解 技巧： Ⅰ：数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． Ⅱ：两个向量的数量积 图形表示： 字母表示： 坐标表示：记，，则 注意： 1、向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得. 2、设，， ⊥. 3、两个向量，的夹角公式：. 考点1．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是 . 破解：向量，则，. 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 考点2．已知，且与的夹角为，与同向的单位向量为，则向量在向量上的投影向量为 ． 破解：记与的夹角为θ，则向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 考点3．已知，且与的夹角为，为与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量为 . 破解：因为与的夹角为， 所以在向量上的投影向量为. 故答案为：. 考点4．已知向量，满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为 . 破解：由题意，在方向上的投影数量为1， 故，则，设向量夹角为， ，则，（）， 由，故的最小值为. 故答案为：2 考点5．若向量满足，且在上的投影向量为，则 . 破解：由题意知，在上的投影向量为， 由，得， 所以. 故答案为：0 考点6．已知，|，，求在上的投影向量． 破解：∵， ∴， ∴在上的投影向量为. 1．已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（