专题8.1 整式的乘除（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题8.1 整式的乘除 · 思想方法 整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 配方法：配方，主要指的是配成平方公式，或二数和的平方，或二数差的平方，将配成的“平方”视作为一个整体，然后再根据已知条件进行运算，从而使题目简化得以解答。 配方的方法： ①根据已知条件的表现形式，去发现平方项和一次项的乘积形式，如果平方项互为倒数，则往往一次项以常数出现，隐藏了一次项的乘积不易发现，此时，就要抓住平方公式的特点去发现和挖掘； ②从要求的结果方面去配方，将要求的表达式向着已知条件的表现形式去配方，利用已知条件达到解题的目的.由于配方扩大了已知条件和要求解的范围，可能会产生不符合要求的结果，就要根据已知条件和所要求解的结果进行讨论，舍去不符合题意的答案. · 知识点总结 一、幂的运算 1.同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2.幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。 3.积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 4.同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 注：任何不等于0的数的0次幂都等于1。 二、 整式的乘法 单项式×单项式：系数相乘，字母相乘． 单项式×多项式：乘法分配律． 多项式×多项式：乘法分配律． 三、整式的除法 单项式÷单项式：系数相除，字母相除． 多项式÷单项式：除法性质． 多项式÷多项式：大除法． 四、乘法公式 1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。 2.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。 · 典例分析 【典例1】阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，． ∴ ； 类比探究： （1）若满足，求的值． （2）若满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成． （3）若满足，求的值． 解决问题： （4）如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积（结果是一个具体的数值） 【思路点拨】 （1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）将转化为，即，再根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （4）根据已知可得，，从而可得，再根据题意得：，，从而可得，进而可得，然后利用（3）的解题思路进行计算，即可解答． 【解题过程】 解：（1）设，， 则，， ， 的值为2560； （2）∵， ， ， 设，， 则，， ， 的值为； （3）设，， 则，， ， ， 的值为； （4）∵，，，， ，， 长方形的面积是， ， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， 设，， 则，， 正方形的面积 ， 正方形的面积为3636． · 学霸必刷 1．（2023下·湖南永州·七年级校考阶段练习）已知实数a，b满足，则代数式的最大值为（    ） A．－4 B．－5 C．4 D．5 2．（2023下·安徽宿州·七年级安徽省泗县中学校联考阶段练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如：记；．已知：，则的值是（    ） A．40 B． C． D． 3．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期中）对于五个整式，：；：；：；：；：有以下几个结论： ①若为正整数，则多项式的值一定是正数； ②存在有理数，，使得的值为； ③若关于的多项式（为常数）不含的一次项，则该多项式的值一定大于．上述结论中，正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2023下·安徽淮北·七年级校联考期末）关于的多项式：，其中为正整数，若各项系数各不相同且均不为0，我们称这样的多项式为“亲缘多项式”． ①是“亲缘多项式”． ②若多项式和均为“亲缘多项式”，则也是“亲缘多项式”． ③多项式是“亲缘多项式”且． ④关于的多项式，若，，为正整数，则为“亲缘多