专题17.3 根与系数的关系（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题17.3 根与系数的关系 · 思想方法 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意：它的使用条件为≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. · 典例分析 【典例1】已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）若，求的值； （2）当取哪些整数时，，均为整数； （3）当取哪些有理数时，，均为整数． 【思路点拨】 （1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可； （2）根据根与系数的关系可得若为整数，可得整数，然后结合两根之积、解方程分别验证即可； （3）显然，当时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设，则方程可变形为，即为，再结合整数的意义即可解答． 【解题过程】 解：（1）∵， ∴不论k为何值，关于的一元二次方程都有两个实数根，， ∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 分两种情况：①若两根同号，由可得：，或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； ②若两根异号，由可得：， 即， ∴， 解得：， 综上，k的值为1或 ； （2）∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 若，均为整数， 则为整数， ∴整数， 当时，不是整数，故应该舍去； 当时，此时方程为，方程的两个根不是整数，故舍去； 当时，此时方程为，方程的两个根为，都是整数，符合题意； 综上，当取时，，均为整数； （3）显然，当时，符合题意； 当k为有理数时，由于为整数， ∴k应该是整数的倒数，不妨设 ，m为整数， 则方程即为， 配方得：， 即， 当即时，方程的两根为，都是整数，符合题意； 当时，不是完全平方数，故不存在其它整数m的值使上式成立； 综上，或． · 学霸必刷 1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（    ） A．0 B． C． D． 3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程的解，c、d是方程的解，则的值为 ． 5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数满足：．求的最小值 6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝ ，的最大值是 ． 7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知，，求． 8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程的两根分别为． （1）求的值； （2）求的值． 9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的倍，求的值． 10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于的一元二次方程． （1）若和分别是该方程的两个根，且，求的值； （2）当，，，，时，相应的一元二次方程的两个根分别记为、，、，，、，求的值． 11．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 （1）直接写出m的取值范围 （2）若满足，求m的值． （3）若，求证：； 12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程的两根是、． （1）求的值； （2）求的值； （3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于、的倒数的立方．（参考公式：． 13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于的方程有实数根． （1）若方程的两根之和为整数，求的值； （2）若方程的根为有理根，求整数的值．