第05讲 导数在研究函数中的应用（春季讲义）-2023-2024学年高二数学春季讲义（人教A版2019）

第05讲 导数在研究函数中的应用 【人教A版2019】 ·模块一 导数中的函数零点（方程根）问题 ·模块二 导数中的不等式证明问题 ·模块三 导数中的恒成立、能成立问题 ·模块四 导数中的其他问题 ·模块五 课后作业 模块一 导数中的函数零点（方程根）问题 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 【考点1 函数零点（方程根）问题】 【例1.1】（2023·全国·模拟预测）已知函数恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高三上·四川泸州·开学考试）已知，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高三上·北京·阶段练习）已知，其中是常数，则（    ） A．存在实数，使得对任意实数，函数都有零点 B．存在实数，使得对任意实数，函数至少有2个零点 C．对于任意实数，存在实数，使得函数恰有2个零点 D．对于任意实数，存在实数，使得函数恰有3个零点 【变式1.2】（2023·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 模块二 导数中的不等式证明问题 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 【考点2 导数中的不等式证明】 【例2.1】（2024·安徽合肥·一模）已知函数，当时，有极大值. (1)求实数的值； (2)当时，证明：. 【例2.2】（2024·甘肃平凉·模拟预测）已知函数． (1)判断的单调性； (2)设方程的两个根分别为，求证：． 【变式2.1】（2024·四川·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)当，时，求证：． 【变式2.2】（2024·甘肃陇南·一模）已知函数 (1)讨论 的单调性. (2)证明:当时, (3)证明: 模块三 导数中的恒成立、能成立问题 1．导数中的恒成立、能成立问题 解决不等式恒（能）成立问题有两种思路： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题． (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可. 【考点3 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例3.1】（23-24高二下·湖南永州·开学考试）若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C．e D． 【例3.2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【变式3.1】（2024·陕西·一模）已知函数，对于，不等式恒成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二上·北京海淀·期末）已知函数若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点4 利用导数研究能成立问题】 【例4.1】（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数．若存在实数，使得成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高三上·福建福州·期末）设函数，若关于x的不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）若存在正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高三·全国·阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是 （    ） A． B． C．   D． 模块四 导数中的其他问题 1．导数中的双变量问题 破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻