第07讲 复数的四则运算（春季讲义）-2023-2024学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第07讲 复数的四则运算 【人教A版2019】 ·模块一 复数的加、减运算及其几何意义 ·模块二 复数的乘、除运算 ·模块三 课后作业 模块一 复数的加、减运算及其几何意义 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意,,∈C，有 ①交换律：+=+； ②结合律：(+)+=+(+). (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差 -对应的向量是-，即向量. 如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 【考点1 复数加减法的代数运算】 【例1.1】（23-24高一·全国·课时练习）已知为虚数单位，计算下列各式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【例1.2】（2023高二·全国·课时练习）已知，.设，且，求、. 【变式1.1】（2023高一·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). (7) (8) 【变式1.2】（2023高二·全国·课时练习）设，，， 求：（1）的值； （2）的值． 【考点2 复数加、减法的几何意义的应用】 【例2.1】（23-24高一·全国·课时练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：    （1）向量对应的复数； （2）向量对应的复数； （3）向量对应的复数． 【例2.2】（23-24高一下·全国·课时练习）已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数. 【变式2.1】（23-24高一下·全国·课时练习）如图，向量对应的复数是z，分别作出下列运算的结果对应的向量： （1）； （2）； （3）. 【变式2.2】（2024高二下·全国·专题练习）在复平面内，分别对应复数，以AB,AC为邻边作一个平行四边形，求点对应的复数及的长. 模块二 复数的乘、除运算 1．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+ =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意,,∈C，有 ①交换律：=； ②结合律：()=()； ③分配律：(+)=+. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，,和正整数m,n，有=， =，=. 2．复数的除法运算 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (1)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 3．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 4．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)