中考素养提升专练(3)-【黄冈金牌之路·练闯考】2022-2023学年九年级数学下册作业课件(人教版2012)

数学 九年级下册 人教版 练闯考 中考素养提升专练(三) 第二十八章　锐角三角函数 A 1．【数学文化】(黄石中考)我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形……边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图①中圆内接正六边形的周长 l6＝6R，则π≈ eq \f(l6,2R) ＝3.再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为 A.12sin15° B．12cos15° C．12sin30° D．12cos30° 2．【数学文化】公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则(sin θ－cos θ)2＝ ． eq \f(1,5) 3．【新解题方法型】阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) .利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和(差)，如tan75°＝tan(30°＋45°)＝ eq \f(tan45°＋tan30°,1－tan45°tan30°) ＝ eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－1×\f(\r(3),3)) ＝ eq \f(3＋\r(3),3－\r(3)) ＝2＋ eq \r(3) . 问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题． (1)求sin75°； (2)如图，边长为2的正△ABC沿直线滚动，设当△ABC滚动240°时，C点的位置在C′；当△ABC滚动480°时，A点的位置在A′. ①求tan ∠CAC′的值； ②试确定∠CAC′＋∠CAA′的度数． 解：(1) sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°＝ eq \f(1,2) × eq \f(\r(2),2) ＋ eq \f(\r(3),2) × eq \f(\r(2),2) ＝ eq \f(\r(2)＋\r(6),4) (2)①过C′作C′E⊥l于E，∵△ABC是等边三角形且边长为2，∴C′E＝ eq \r(3) ，AE＝2＋2＋1＝5，∴tan ∠CAC′＝ eq \f(CE′,AE) ＝ eq \f(\r(3),5) ；②过A′作A′F⊥l于F, ∵△ABC是等边三角形且边长为2，∴A′F＝ eq \r(3) ，AF＝2＋2＋2＋2＋1＝9，∴tan ∠CAA′＝ eq \f(A′F,AF) ＝ eq \f(\r(3),9) .设∠CAC′＝α，∠CAA′＝β ，tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan α·tan β) ＝ eq \f(\f(\r(3),5)＋\f(\r(3),9),1－\f(\r(3),5)×\f(\r(3),9)) ＝ eq \f(\r(3),3) ，∴α＋β＝30°，∴∠CAC′＋∠CAA′＝30° 4.【综合与实践】为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表： 课题 测量河流宽度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 示意图 说明 点B，C在点A的正东方向 点B，D在点A的正东方向 点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向 测量数据 BC＝60 m， ∠ABH＝70°， ∠ACH＝35° BD＝20 m， ∠ABH＝70°， ∠BCD＝35° BC＝101 m， ∠ABH＝70°， ∠ACH＝35° (1)哪个小组的数据无法计算出河宽？ (2)请选择其中一个方案及其数据求出河宽(精确到0.1 m). (参考数据：sin 70°≈0.94, sin 35°≈0.57, tan 70°≈2.75, tan 35°≈0.70) 解：(1)第二个小组的数据无法计算河宽(2)答案不唯一．若选第三小组的方案及数据，设AH＝x m，则CA＝ eq \f(AH,tan35°) ，AB＝ eq \f(AH,tan70°) ，∵CA＋AB＝CB，∴ eq \f(x,0.70) ＋ eq \f(x,2.75) ＝101，解得x≈56.4.答