专题6.2 平面向量的数量积（6知识点+10考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题6.2 平面向量的数量积 知识点一 数量积的定义 (1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. (3)向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 知识点二 向量的投影 (1)定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． (2)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θe. 知识点三 数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 知识点四 向量数量积运算的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 知识点五 数量积的有关结论 (1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0. 知识点六 向量夹角的两个结论 已知向量a，b. (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 考点01 根据定义求数量积 【典例1】（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知平面内的三个单位向量、、，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【典例2】（2024高一下·江苏·专题练习）在中，若，，，则＝（    ） A． B． C． D． 【总结提升】 定义法求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角． 考点02 根据运算律求数量积 【典例3】（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）已知单位向量，的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2024高三·江苏·专题练习） 已知向量，，， ． 【总结提升】 当相关向量是两个或两个以上向量的线性运算时，要先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简，再加以计算． 考点03 求投影向量 【典例5】（23-24高三上·河北·期末）已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【典例6】【多选题】（23-24高二下·辽宁·开学考试）已知是夹角为的单位向量，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为 【总结提升】 1.根据题意确定向量的模及两向量的夹角，然后代入公式计算．a在b上的投影向量为|a|·cosθ·. 2.结合几何图形的性质及向量投影的定义计算. 考点04 求向量的模 【典例7】（23-24高三下·四川·期末）已知向量、、满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 【典例8】（23-24高三下·广东·阶段练习）在中，点在边上，且．点满足．若，，则（   ） A． B． C．12 D．11 【总结提升】 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量. 考点05 向量夹角（函数值）的运算 【典例9】（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知、为单位向量，且，则、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【典例10】（2024·云南大理·模拟预测）已知向量均为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 考点06 向量垂直关系的判断与应用 【典例11】（2024高一下·江苏·专题练习）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【典例12】【多选题】（2024高一下·全国·专题练习）（多选）已知两个单位向量的夹角为θ，则下列结论正确的是（　　） A．在方向上的投影向量为 B． C． D． 【总结提升】 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b