专题6.1 平面向量及其线性运算（3知识点+10考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题6.1 平面向量及其线性运算 知识点一 平面向量的有关概念 名称 定义 记法 零向量 长度为0的向量叫做零向量 0 单位向量 长度等于1个单位的向量，叫做单位向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 a＝b 说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量 平行 向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 a∥b 规定：零向量与任何向量都平行 0∥a 说明：任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量也叫有线向量 知识点二 向量的线性运算 1.加法、减法、数乘 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律(性质) 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律：a＋b＝b＋a，并规定：a＋0＝0＋a＝a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 λa是一个向量，其长度：|λa|＝|λ||a|； 其方向：λ>0时，与a方向相同；λ<0时，与a方向相反；λ＝0时，λa＝0 设λ，μ∈R，则λ(μa)＝μ(λa)； (λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b　． 知识点三 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 考点01 平面向量的基本概念 【典例1】（2024高二上·江苏·专题练习）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2】（22·23高一下·河北石家庄·阶段练习）下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【总结提升】 (1)非零向量的平行具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． 考点02 零向量与单位向量 【典例3】（22·23高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【典例4】（20·21高一下·全国·课时练习）设非零向量，若，则的取值范围为（    ） A．[0，1] B．[0，2] C．[0，3] D．[1，2] 【总结提升】 (1)是与a同方向的单位向量． (2)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行． 考点03 相等向量与共线向量 【典例5】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．向量的模是一个正实数 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．共线的单位向量必相等 D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同 【典例6】（2024高一下·全国·专题练习）已知A，B，C是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则 . 【总结提升】 (1)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上． (2)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等的向量． 考点04 向量的加法、减法 【典例7】（23·24高一上·河北石家庄·期末）向量 （    ） A． B． C． D． 【典例8】（2023高二上·全国·专题练习）下列等式中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【总结提升】 （1） 求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． （2） 在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”． （3） 三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的． 考点05 向量的数乘及线性运算 【典例9】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【典例10】（2024高一下·全国·专题练习）在中，为边上的中线，点为的中点，则（ ） A． B