专题6.3 平面向量的基本定理及坐标表示（4知识点+13考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题6.3 平面向量的基本定理及坐标表示 知识点一 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点二 平面向量基本定理的推论 (1)设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1＝λ3且λ2＝λ4. (2)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. (3)平面向量基本定理的推论： ①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得＝(1－t)＋t.特别地，当t＝时，点P是线段AB的中点． ②对于平面内任意一点O，有P，A，B三点共线⇔存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1. 知识点三 平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． (2)平面向量的坐标运算 ①平面向量线性运算的坐标表示 假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R)． ②向量模的坐标计算公式 如果向量a＝(x，y)，则|a|＝. ③向量坐标的求法 a．若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． b．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (3)平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 知识点四 数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝x＋y； |a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)|x1x2＋y1y2|≤. (4)设θ是a与b的夹角，则 cos θ＝＝. 考点01 用基底表示向量 【典例1】（22-23高一下·浙江台州·阶段练习）如果，是平面内所有向量的一组基底，那么（    ） A．该平面内存在一向量不能表示，其中m，n为实数 B．若向量与共线，则存在唯一实数λ使得 C．若实数m，n使得，则m＝n＝0 D．对平面中的某一向量，存在两对以上的实数m，n使得 【典例2】(多选题)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M，设＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A．＝a＋b 　 B．＝－a＋b C．＝－a＋b 　 D．＝－a＋b 【总结提升】 平面内不共线两向量可以作为基向量，用基底表示向量常常应用“三角形法则”、“平行四边形法则”，进行向量的加、减或数乘运算． 考点02 平面向量基本定理的应用 【典例3】（23-24高三下·山东德州·开学考试）在中，点在直线上，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【典例4】（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）在中，点是的中点，点分的比为与相交于，设，则向量（    ） A． B． C． D． 【总结提升】 先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 考点03 基底表示中的“系数”问题 【典例5】（23-24高三上·辽宁大连·期末）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例6】（22-23高三上·全国·阶段练习）在平行四边形中，，，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【总结提升】 1.逐个求解法：根据平面向量基本定理，将向量通过不同的途径用已知基底表示出来，建立相应的二元一次方程组，通过解方程组，把系数分别求出来，进而求得结果； 2.整体代入法：观察题目提供的向量表达式的系数和所求“系数”的基本特征，运用“整体代入”思想，整体求解． 考点04 向量的坐标表示 【典例7】（2024高一下·全国·专题练习）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例8】（22-23高一下·广东·阶段练习）已知，则与同向的单位向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 考点05 平面向量的坐标运算 【典例9】（21-22高一·全国·课时练习）若向量，，，则可用向量，表示为（　　） A． B． C． D． 【典例10】【多选题】（22-23高一下·河南·期中）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【总结提升】