大题07 新定义题型（10大题型+必刷大题）-【大题精做】冲刺2024年高考数学大题突破+限时集训（新高考通用）

大题06 新定义题型 继2024年九省联考的第19题考查了新定义问题，已有部分地区考试采用了该结构考试。2024年的新高考试卷第19题极大可能也会考查新定义问题，难度较大。新定义题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。 题型一：集合的新定义问题 （2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. （1）试判断集合是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； （3）证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 集合新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 1．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底． （1）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ①，； ②，． （2）若集合是集合的一个元基底，证明：； （3）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底． 2．（2024·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）设为正整数，集合. 任取集合A中的个元素（可以重复），，，，其中. （1）若，，直接写出； （2）对于，，，证明：； （3）对于某个正整数，若集合A满足：对于A中任意个元素，都有，则称集合A具有性质. 证明：若，集合A具有性质，则，集合A都具有性质. 题型二：函数与导数的新定义问题 （2024·陕西安康·高三校联考阶段练习）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数. （1）若在上为“凸函数”，求的取值范围； （2）若，判断在区间上的零点个数. 函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。 1．（2023·上海浦东新·统考二模）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． （1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由； （2）已知，．证明：点是的0度点； （3）求函数的全体2度点构成的集合． 2．（2024·广东茂名·统考一模）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”. （1）若，判断是否为上的“3类函数”； （2）若为上的“2类函数”，求实数的取值范围； （3）若为上的“2类函数”，且，证明：，，. 题型三：复数与不等式的新定义问题 （2024·全国·高三校联考竞赛）设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”． （1）判断是否是的“可分离子集”，并说明理由； （2）设复数z满足，其中分别表示z的实部和虚部．证明：是的“可分离子集”当且仅当． 新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 1．（2024·湖南邵阳·高三邵阳市第二中学校考开学考试）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． （1）若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； （2）设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； （3）设常数，，集合且和且，若满足：①