7 弦图模型-【一战成名新中考】2024安徽中考数学·培优册优质课件PPT

模块一 模型、方法篇 7. 弦图模型 安徽数学 数学 1 【解题策略】勾股定理和三角形全等是解决弦图模型的重要工具. 已知条件 图形及辅助 线 结论 在正方形 中, , , , ; 四边形 是正方形,边长 在正方形 中, ; 四边形 是正方形 2 例题图 例 如图,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中 间是一个小正方形,这个图形是我国汉代赵爽在注解 《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.如果图 中勾 ,弦 ,则小正方形的面积为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 由题图可得, , 小正方形的边长为 , 小正方形的面积为 . √ 3 针对练习 第1题图 1.如图,是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的 一个大正方形,若每个直角三角形的面积为4,大正方形的 面积为25,则小正方形的边长为( ) A. 9 B. 6 C. 1 D. 3 【解析】 设直角三角形较短直角边长为 ,较长直角边长 为 , 大正方形的面积为25,每个直角三角形面积为 4, , ,即小正方形 的边长为3. √ 4 第2题图 2.我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》 作注解时,用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼 成一个大正方形,这个图被称为“赵爽弦图”,它体现了 中国古代数学的成就.如图,已知大正方形 的面积 是100,小正方形 的面积是4,那么 的值 为( ) A. B. C. D. √ 5 第2题图 【解析】 设直角三角形较长直角边是 ,较短直角边是 , 大正方形 的面积是100, , 小正方形 的面积是4, , , , , 或 （舍）, , , , . 6 第3题图 3.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我 国古代数学的骄傲.如图,设直角三角形较长直角边长为 , 较短直角边长为 ,若 ,大正方形的面积为25, 则 的长为( ) A. 9 B. C. D. 3 【解析】 由题意可得 , , ,由题 图可知 , ,解得 . √ 7 第4题图 4.如图①是我国古代著名的“赵爽弦图” 的示意图,它由四个全等的直角三角形 围成.若较短的直角边 ,将四 个直角三角形中较长的直角边分别向外 延长一倍,得到图②所示的“数学风车”, 若 的周长是15,则这个风车的 外围周长是____. 38 8 第4题图 【解析】 依题意,设“数学风车”中 的四个直角三角形的斜边长为 , ,则 , 的周长是15, ,解得 , , 这个风车的外围 周长是 . 9 第5题图 5.将四个全等的直角三角形分别拼成 正方形（如图①②）,边长分别为6 和2.若以一个直角三角形的两条直角 边为边向外作正方形（如图③）,其 面积分别为 , .则 ____. 12 【解析】 设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为 , , 根据题图①得 ,根据题图②得 ,联立解得 , ,则 . 10 第6题图 6.勾股定理被记载于我国古代的数学 著作《周碑算经》中,汉代数学家赵 爽为了证明勾股定理,创制了一幅如 图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽 弦图”.图②由弦图变化得到,它是由 八个全等的直角三角形拼接而成.记图 中正方形 、正方形 、正 方形 的面积分别为 , , . 11 第6题图 （1）若 , ,则 ____; 13 【解析】 由题图②可得 , , , ,解得 ; 12 （2）若 ,则正方形 的边长为 _ ____. 【解析】 , , , , , 正方形 的边长为 . 第6题图 $$