精品解析：上海交通大学附属中学2023-2024学年高二下学期摸底数学试卷

上海交通大学附属中学2023-2024学年度第二学期 高二数学摸底试卷 （本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知，，则可用列举法表示为________. 2. 已知球的体积为，则该球的表面积为______. 3. 双曲线离心率为___________. 4. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为_______. 5. 若，则________. 6. 不等式的解集为________. 7. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是________. 8. 已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为________. 9. 若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是________. 10. 已知抛物线的焦点为，点，点在抛物线上，且，则__________． 11. 已知数列的各项均为正整数，对于任意正整数，有，其中为使为奇数的正整数.若存在正整数，使得当且为奇数时，恒为常数，则的值为________. 12. 如图所示，在梭长为6的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角的正切值的取值范围为________. 二、选择题（本大题共有4题，第13、14每题满分4分，第15、16小题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑. 13. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 空间中，设、是两条直线，、是两个平面，下列命题中，正确的是（ ） A. 对于空间中的直线，若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若直线上存在两点到平面距离相等，则 15. 函数（其中常数，）的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后，所得图像关于原点中心对称，则原函数的图像（ ） A. 关于点中心对称 B. 关于点中心对称 C. 关于直线轴对称 D. 关于直线轴对称 16. 已知，曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知复数，其中. （1）设，若是纯虚数，求实数的值； （2）设，分别记复数、在复平面上对应的点为、，求与的夹角以及在上的数量投影. 18. 如图，在长方体中，点、分别在、上，且，. （1）求证：平面； （2）设，，，求平面与平面所成的锐二面角的大小. 19. 设，. （1）求函数单调增区间； （2）设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 20. 太曲线由曲线和曲线组成，其中点、为曲线所在圆锥曲线的焦点，点、为曲线所在圆锥曲线的焦点. （1）若，，求曲线的方程； （2）作曲线第一象限中渐近线的平行线，若与曲线有两个公共点、，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上； （3）设，，若直线过点交曲线于点，求的面积的最大值. 21. 对于函数，，若存在非零实数以及，使得，则称函数为“伴和函数”. （1）设，，判断是否存在非零实数，使得函数为“伴和函数”？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （2）设，证明：函数，为“伴和函数”； （3）设，若函数，为“1伴和函数”，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海交通大学附属中学2023-2024学年度第二学期 高二数学摸底试卷 （本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知，，则可用列举法表示为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据补集和交集的运算法则求解即得. 【详解】因为，以实数集为全集，则， 且，则 故答案为：. 2. 已知球的体积为，则该球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由球的体积公式求出球的半径R，再由表面积公式计算即可． 【详解】由球的体积公式可知，，解得， ∴球的表面积． 故答案为： 3. 双曲线的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】依据题意可得，然后根据离心率公式可得结果. 【详解】由题可知：，由