6.4.1～6.4.2 平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例　教案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.4.1 平面几何的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 教学设计 教学目标 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题. 2.体会向量在解决数学和实际问题中的应用. 教学重难点 教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法，向量法解决几何问题的“三步曲”. 教学难点：将实际问题转化为向量问题. 教学过程 新课导入 我们前面学习了平面向量的概念和运算，并且通过平面向量的基本定理，把向量的运算转化归于实数的运算.本节我们将学习运用向量解决平面几何和物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用. 新知积累 例1：是的中位线，用向量的方法证明：，. 证明：如图，因为DE是的中位线，所以，. 从而，又， 所以于是， 特别注解：用向量解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，讲平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离，夹角等问题； （3）将运算结果“翻译”成几何关系. 例2：如图，已知平行四边形ABCD，你能观察发现和猜想出AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗? 解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题： 如图，取为基底，设，.则，. 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系： ，. 上面两式相加，得. 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系： 特别注解：的意义：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 例3：在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包、两个拉力夹角越大越费力如何从数学的角度解释这种现象？ 解：先来看共提旅行包的情况，如图.设作用在旅行包上的两个拉力分别为，，为方便起见，不妨设，.另设，的夹角为，旅行包所受的重力为 由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道 . 这里为定值.分析上面的式子，我们发现，当由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到，值由大逐渐变小，此时由小逐渐变大； 反之，当由逐渐变小到时，由逐渐变小到，值由小逐渐变大，此时由大逐渐变小.这就是说，，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力. 同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 探究：当为何值时，最小?最小值是多少? （2）能等于吗?为什么? 答：（1）要使最小，只需最大，此时，可得于是的最小值为. （2）若要使，只需，此时，即. 例4 .如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到）? 解：设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短. 如图，设，则 此时，船的航行时间. 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1 min. 特别注解：用向量法解决物理问题时，正确做出相应的几何图形有助于我 们建立数学模型.向量在物理中的应用，如求力的合力与分解，力做的功 等，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后用向量运算解决向量问题，最后用得到的结果解释物理现象. 课堂巩固 1.在中，，，则的形状为( ) A.直角三角形 B.三边均不相等的三角形 C.等边三角形 D.等腰（非等边）三角形 答案：D 解析：由，可得，即，所以，即. 因为，，所以，所以为等腰（非等边）三角形.故选D. 2.已知向量，则（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析：∵ ∴ ， ∴， ∵，， ∴．故选：D. 3.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具重10N，则每根绳子的拉力大小为( )N A.10 B.5 C. D. 答案：A 解析：如图所示，可得，，且， 所以，为等边三角形， 所以，即每根绳子的拉力大小为10N. 故选：A. 4.两个力，作用于同一个质点，使该点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为( ). A.10 B.5 C.-5 D.-125 答案：C 解析：两个力，作用于同一个质点，其合力大小为， 从点移到点，其位移， 则这两个力的合力对质点所做的功为. 故选：C. 5.设平面上有四个互异的点A，B，C，D.若，则的形状一定是__________. 答案：等腰三角形 解析： ，，是等腰三角形. 6.高一学生将质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为45°和30°，则拉力与大小的比值为___________. 答案： 解析：设，， 则， 可得. 故答案为：. 7.已知力，，且和三个力的合力为，则__________. 答案： 解析：设，则，即，解