第八章 概率（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第二册）

第八章 概率（知识归纳+题型突破） 1.结合古典概型，了解条件概率的定义,掌握条件概率的计算方法. 2.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 3.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率，了解贝叶斯公式. 4.通过具体的实例，了解离散型随机变量的概念及其对于刻画随机现象的重要性. 5.理解离散型随机变量的分布列，掌握离散型随机变量分布列的表示方法及性质. 6.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值.能计算简单离散型随机变量的均值. 7.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念. 8.能计算简单离散型随机变量的方差及标准差，并能解决一些实际问题. 9.通过具体实例了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征. 10.能用二项分布解决简单的实际问题. 11.通过具体实例，了解超几何分布及其均值. 12.能用超几何分布解决简单的实际问题. 13.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征. 14.了解正态分布的均值、方差及其含义. 1．条件概率的概念 一般地，设A，B为两个事件，P(A)>0，我们称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率(conditional probability)，记为P(B|A)，读作“A发生的条件下B发生的概率”．即P(B|A)＝(P(A)>0)． 注意点： A与B相互独立时，即可得P(AB)＝P(A)P(B)，则P(B|A)＝P(B)． 2．概率的乘法公式 由条件概率的公式可知P(AB)＝P(B|A)P(A). 通常将此公式称为概率的乘法公式. 注意点： (1)如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A). (2)已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的样本空间计算AB发生的概率. 3．条件概率的性质 (1)P(Ω|A)＝1； (2)P(∅|A)＝0； (3)若B1，B2互斥，则P((B1＋B2)|A)＝P(B1|A)＋P(B2|A). 注意点： (1)A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0； (2)互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和. 4．全概率公式 一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且它们的和Ai＝Ω，P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai).这个公式称为全概率公式. 注意点： 如图所示，B发生的概率与P(BAi)(i＝1，2，…，n)有关，且B发生的概率等于所有这些概率的和，即P(B)＝P(BAi)＝P(Ai)P(B|Ai).在实际问题中，当某一事件的概率难以求得时，可转化为一系列条件下发生的概率的和. 5．贝叶斯公式 　一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω，P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，P(B)>0，有 P(Ai|B)P(B)＝P(B|Ai)P(Ai)， 因此P(Ai|B)＝， 再由全概率公式得P(Ai|B)＝. 这个公式称为贝叶斯公式. 注意点： (1)公式P(Ai|B)＝＝反映了P(AiB)，P(Ai)，P(B)，P(Ai|B)，P(B|Ai)之间的互化关系. (2)P(Ai)称为先验概率，P(Ai|B)称为后验概率，其反映了事件Ai发生的可能在各种可能原因中的比重. 6．随机变量的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，则称X为随机变量.通常用大写英文字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示随机变量，而用小写英文字母x，y，z(加上适当下标)等表示随机变量的取值. 注意点：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征： ①取值依赖于样本点；②所有可能取值是明确的. 7．离散型随机变量 随机变量可分为以下两类： (1)离散型随机变量：取值为离散的数值的随机变量称为离散型随机变量； (2)连续型随机变量：取值为连续的实数区间，具有这种特点的随机变量称为连续型随机变量. 注意点：是不是离散型随机变量与变量的选取有关，比如：对树木高度问题，可定义如下离散型随机变量ξ＝ 8．离散型随机变量的概率分布 (1)定义：一般地，随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n，① 称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列. (2)表示：分布列可以用下表来表示. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们将上表称为随机变量X的概率分布表.它和①式都叫作随机变量X的概率分布. (3)性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…n；