第八章 概率（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第二册）

第八章 概率（压轴题专练） 题型一　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 【例1】同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数按2∶3∶5的比例混合在一起. (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ 思维升华　 P(Ai)(i＝1，2，…，n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)(i＝1，2，…，n)有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化. 巩固训练 1.一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机、动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机、动车和非机动车迟到的概率分别为，，. (1)求这位教授迟到的概率； (2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率. 题型二　均值的实际应用 【例2】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的概率分布； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？ 思维升华　 概率模型的解答步骤 (1)审题：确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些； (2)确定随机变量的概率分布，计算随机变量的均值； (3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论. 巩固训练 1. 体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各体检人是否患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案： 方案甲：逐个检查每位体检人的血液； 方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束. 试问：哪种化验方案更好？ 题型三　均值与方差的综合应用 【例3】有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下： XA 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 XB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中，XA，XB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，P为其相应概率.在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好). 思维升华　均值、方差在决策中的作用 (1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高. (2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定. (3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差作出决断. 巩固训练 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人. 题型四　超几何分布的综合问题 【例4】某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 　　专业 性别　　 中文 英语 数学 体育 男 n 1 m 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同). (1)求m，n的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的概率分布、均值及方差. 思维升华　超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女生选举问题等，这类问题有一个共同特征