第十三章 立体几何初步（压轴题专练）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第二册）

第十三章　立体几何初步（压轴题专练） 题型一　基本立体图形的概念 【例1】下列说法正确的是(　　) A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 思维升华 此类问题的解法是主要掌握好棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的概念和几何特征，以及它们的展开图的形状，从而正确的得到结论．　 巩固训练 如图所示的组合体，其结构特征是(　　) A．左边是三棱台，右边是圆柱 B．左边是三棱柱，右边是圆柱 C．左边是三棱台，右边是长方体 D．左边是三棱柱，右边是长方体 题型二　空间中的共点、共线、共面问题 【例2】如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. 求证：(1)E，F，G，H四点共面； (2)GE与HF的交点在直线AC上． 思维升华 　 巩固训练 在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于点E，F，G，H.求证：E，F，G，H必在同一直线上． 题型三　直线与平面平行的综合应用 【例3】如图所示，已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，CD＝2AB，M为线段PC上一点． (1)设平面PAB∩平面PDC＝l，证明：AB∥l； (2)在棱PC上是否存在点M，使得PA∥平面MBD，若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 思维升华 证明直线与平面平行的实质是证明直线与直线平行，将线线平行转化为线面平行；而证明直线与平面平行的性质定理的实质是将线面平行转化为线线平行；实现了线线平行与线面平行的相互转化．　 巩固训练 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l. (1)求证：BC∥l； (2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论． 题型四　平行关系的综合应用 【例4】在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图． (1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD； (2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC. 思维升华 两个平面平行的判定定理与性质定理实现了直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行的相互转化．　 巩固训练 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点． (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF； (2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证： H为BC的中点． 题型五　垂直关系的综合应用 【例5】如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE. 思维升华 垂直关系的转化 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下： 　 巩固训练 如图，在四棱锥A1­BCED 中，DE∥BC，A1D＝BD＝A1E＝CE＝， O为DE的中点，2DE＝BC＝4.F为A1C的中点，平面A1DE⊥平面BCED. (1)求证：平面 A1OB⊥平面A1OC； (2)线段OC上是否存在点G，使得OC⊥平面EFG？说明理由． 题型六　平行、垂直关系 【例6】如图，已知在直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC. (1)求证：AE⊥平面CDE； (2)求证：FG∥平面BCD； (3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由． 思维升华 (1)平行、垂直关系的相互转化 (2)证明空间线面平行或垂直需注意三点 ①由已知想性质，由求证想判定； ②适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一； ③用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．　 巩固训练 已知在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB＝BC＝2CD，∠ABC＝60°，M是线段AB的中点． (1)求证：CM⊥平面PAB； (2)已知点N是线段PB的中点，试判断直线CN与平面PAD的位置关系，并证明你的判断． 题型七　空间角的计算 【例7】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2. (1)求异面直线PA与BC所成角的正切值； (2)求证：平面PDC⊥平面ABCD； (3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值． 思维升华 空间角的求法 (1)找异面直线所成角的三种方法 ①利用图中已有的平行线平移；