第七章 概率初步（续）（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）

第七章 概率初步（续）（知识归纳+题型突破） 知识点1：条件概率 1. 概念：在古典概率模型中，事件发生之后，随机现象的结果就剩下事件中的基本事件，所以事件变成了样 本空间．这个样本空间仍然是等可能的，这时事件发生的概率称为事件基于条件的概率，或在事件发生的条件下，事件发生的概率，或已知事件发生，事件发生的概率，记为 . 2. 公式：（适用于古典概率）； （适用于一般情况）. 3. 乘法公式：，若与独立，则，此时. 这说明在两个事件独立的情况下，条件概率等于概率．反之，若条件概率等于概率，则两 个事件是独立的. 知识点2：全概率公式 知识点3：期望 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布．把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值， 称为随机变量的期望 定义如果随机变量的分布是那么它的期望定义为如下的加权平均： 知识点4：期望的线性性质 1、如果是一个随机变量，是一个实数，那么 2、如果、是两个随机变量，那么 ． 知识点5：方差 对随机变量而言，我们用与其期望的偏差的平方的期望，即来衡量随机变量的分散度，称为的方差，记为 定义 随机变量的方定义为,这样就有 知识点6：方差的性质 1、如果是一个随机变量，是一个实数，那么 2、 如果，分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量 ， 那么 知识点7：二项分布 设有一个伯努利试验，其成功概率为（），失败概率为，且．独立地重复该伯努利试验次，用表示成功的次数．把次试验看作具有个标号的位置，其中每个位置都有两种可能：成功或者失败，分别标记为1和0．“成功次数为”的事件可以看作从个位置里选择个位置标记为1，而其他标记为0，这样的选择共有种．因为每次试验都是独立地进行，所以由独立性，每种标记发生的概率是．再由概率的可加性，可得成功次数为的概率为 定义 独立地重复一个成功概率为的伯努利试验次，其成功次数的分布称为二项分布，亦称成功次数服从二项分布 知识点8：超几何分布 定义 从一个装有大小与质地相同的个白球、个黑球的袋中随机且不放回地取个球，其中的白球数的分布称为超几何分布： 知识点9：正态分布 1、正态密度函数 数学中的正态分布是指由下面的函数所表达的分布：，其中有两个参数： （1）是该分布的期望或均值； （2）是该分布的方差，且总是假设．这个函数的图像如同钟形，该函数在数学上称为正态密度函数，也称为钟形曲线． 2、正态分布 定义 设是一个取实数值的随机变量．如果对任何给定的实数与 （），落在区间上的概率（）等于三条直线： 、 、与正态密度函数的图像所围的区域面积（或者简称作此函数在该区间上的面积），那么服从正态分布，或更准确地说， 服从参数为、的正态分布，记为.当、时，相应的正态分布称为标准正态分布，记作，其密度函数，称为标准正态分布的密度函数，简记作 题型一：条件概率 例题1．（23·24高三上·上海宝山·阶段练习）已知某种生物由出生算起活到60岁的概率是0.8，活到65岁的概率是0.6，则一头60岁的该种动物活到65岁的概率是 . 例题2．（22·23高二下·上海浦东新·期中）已知， ，则 ． 例题3．（22·23高三下·上海宝山·阶段练习）已知某产品的一类部件由供应商A和B提供，占比分别为和，供应商A提供的该部件的良品率为，供应商B提供的该部件的良品率为．若发现某件部件不是良品，那么这个部件来自供应商B的概率为 （用分数作答） 巩固训练 1．（22·23高二下·上海金山·期末）已知，，则 ． 2．（23·24高三上·上海长宁·期中）从这个连续正整数中不放回地任取2个数，设“第一次取到的是质数”为事件A，又设“第二次取到的不是质数”为事件，且，则的所有可能值的和为 . 3．（2023·陕西西安·模拟预测）从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则 ． 题型二：乘法公式的应用 例题1．（2023高三·全国·专题练习）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23·24高二上·河南南阳·期末）已知，，则 . 例题3．（2023高二下·辽宁鞍山·期中）已知，且．若，，则 ． 巩固训练 1．（2023高二·全国·单元测试）已知市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%