15.3 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 导学案 2023—2024学年人教版数学八年级上册

八 年级 数学 学科教学案 课题 15.3　分式方程 第1课时 分式方程及其解法 课时 第1课时，共2课时 课型 新授课 备课教师 马奋军 授课时间 第 周 总第 教学案 授课教师 备课组长审核签字 教学目标 核心素养 抽象能力　运算能力 应用意识 学习目标 1．理解分式方程的定义和分式方程需要检验的原因． 2．掌握解分式方程的一般方法和步骤．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法. 3．(2022新课标)能解可化为一元一次方程的分式方程． 4.经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识. 教学 重点 1．了解分式方程的概念． 2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用． 教学 难点 了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值. 教具 课件PPT 教法学法 合作交流，参与式教学 教 学 过 程 个人加减 1. 学习反馈 下列方程哪些是一元一次方程？ (1) 3x-5=3；√ (2) x+2y=5；× (3) x2-x=5；× (4)= -1. √. 2. 展示交流 探究点1 方式方程 问题1一辆汽车从甲地开往乙地需要5小时，返回时每小时少行驶15千米，多用了1小时，求甲、乙两地间的距离是多少千米？ 备注：以“学习反馈、展示交流、拓展提高、巩固检测、归纳小结”的五步多元教学法为基础进行多元模式教学设计，并附加分层作业布置和课后反思。 教 学 过 程 个人加减 设甲、乙两地间的距离是x千米，则列得的方程为. 问题2一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江流顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，则江水的流速为多少？ 设江水的流速为多少vkm/h，则列得的方程为. 观察得到的两个方程，两者有什么区别？教师可引导学生观察分母的不同. 学生互相讨论，总结：方程是我们学习过的一元一次方程；方程是是分式方程. 思考：怎样表述分式方程呢？ 分式方程的定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程. 判断一个式子是否为分式方程的注意事项： （1） 分式方程必须满足的条件：①是方程；②含有分母；③分母中含有未知数.三者缺一不可. （2）分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的方程分母中虽然含有字母m，但m不是未知数，所以该方程是整式方程. 探究点2 分式方程的解法 如何解分式方程？ 学生小组间互相讨论，同时教师引导学生可将未知的问题转化为已知的问题求解，由于学习过整式方程的解法，所以我们可以将分式方程转化为整式方程来解答.仿照解一元一次方程的过程，学生逐步找到解分式方程的思路：解题过程如下： 解：方程两边乘(30+v)(30-v)，得90(30-v)=60(30+v). 解得 v=6. 检验：将v=6代入原分式方程中，左边==右边， 因此v=6是原分式方程的解. 解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”， 即方程两边乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法. 再讨论一个分式方程 去分母，在方程两边乘最简公分母(x-5)(x+5)，得整式方程 x+5=10，解得 x=5 x=5是原分式方程的解吗？ 将x=5代入原分式方程检验，得分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义. 因此，x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程的解.实际上，这个分式方程无解. 思考：为什么①去分母后所得整式方程的解v=6就是①的解，而②去分母后所得整式方程的解x=5却不是②的解呢？ 方程①两边乘(30+v)(30-v)，得到整式方程，它的解v=6. 当v=6时，(30+v)(30-v)≠ 0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同. 方程②两边乘(x-5)(x+5)，得到整式方程，它的解x=5. 当x=5时，(x-5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解. 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.这是解分式方程必不可少的步骤. 思考：解分式方程的步骤有哪些？ 解分式方程的一般步骤： （1）去分母：方程两边同乘 最简公分母，把分式方程化为 整式方程； （