6.3利用导数解决实际问题（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

6.3 利用导数解决实际问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、 效率最高等问题，这些问题通常称为 ． 最优化问题 例如:圆柱形饮料罐的容积一定，如何确定其高与底半径,才能使它的用料最省？ 1.理解导数在解决实际问题中的作用. （重点） 2.能利用导数知识解决实际中的最优化问题. (难点） 3.将实际问题转化为数学问题，建立函数模型. (难点） 情境：如图所示，海中有一座油井A,其离岸的距离AC=1.2 km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC=1.6 km ，现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上.已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？ 海 陆 思考：分别计算下列两种算法的铺设成本. (1)先沿AC铺设，再沿CB铺设； (2)直接沿着线段AB铺设. 海 陆 解：(1) 成本为万元. (2) 所以直接沿线段AB铺设，成本为 2×50=100万元. 还有其他方案吗？ 在岸上取一点D，设其距离C的距离为，则 ， . 设先沿AD铺设再沿DB铺设输油管时成本为万元， 则1.6 因此，当 时， 海 陆 令 可解得 可知在上递减，在上递增，从而在时取得最小值，而且最小值为 1.6 最少花费是96万元. 应用题解题的一般思路： 数学问题 实际问题 数学问题的结论 实际问题的结论 数 学 解 答 数学化 检验 回到实际问题 问 题 解 决 例 1.如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离是150 km，岸边的医药公司A与点B的距离为300km，现有一批药品要尽快送达海岛码头，已知A与B之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车的时速为130km，快艇时速为50km. 试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？ 解：设点C与点B的距离为km，运输时间为T()h，则 . 因为 ， 令可解得. 因此可知在上递减，在上递增， 从而在最小值. 这就是说，点C选在离点B点为时可使运输时间最短. 例 2.如图所示，先有一块边长为1.2 m的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相同的小正方形，然后做成一个长方形的无盖容器，则容器的容积V m3 立方是截下的小正方形边长x m的函数. (1)写出函数解析式； (2)为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？ 解：(1)根据题意可知，容器底面的边长为(1.2m，高为m ，于是 又因为显然的长度必须小于原有正方形铁板的一半，因此， 所以. 解：(2)由题意有 . 令可解得 因此可知在上递增，在上递减， 故在时取得极大值，而且在此时取得最大值. 即截去的正方形边长为m时，容器的容积最大. 例 3.某种退烧药能够降低的温度R是血液中该药含量M的函数，而且 其中C是一个常数，试求这种退烧药在血液中的含量M为多少时，能够降低的温度最大. 解：因为 所以由可解得 因此可知在上递增，在上递减. 故R在时取得极大值，而且此时取得最大值. 例 4.已知某种工艺品总成本C元是产量Q件的函数，且 将Q看成能取区间[1, 30]内的每一个值，求月产量Q为多少时，才能使每件 产品的平均成本最低？最低平均成本为多少？ 解：记平均成本为元，则 因为时，有 ， 令，可解得. 因此可知在[1, 10]上递减，在[10, 30]上递增， 从而在时取得极小值，而且在此时取得最小值 = 即当月产量为10件，每件产品的平均成本最低，最低为400元. 1.最优化问题. 2.应用题解题的一般思路： 数学问题 实际问题 数学问题的结论 实际问题的结论 数 学 解 答 数学化 检验 回到实际问题 问 题 解 决 本节课学习了哪些知识 $$