第6章 三角（单元培优卷）-2023-2024学年高一下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修二）

第6章 三角（单元培优卷） 一．填空题（共12小题） 1．角的终边经过点，且，则　　． 2．已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至．则点的坐标为 　　． 3．若，则的值为 　　． 4．已知，则　　． 5．已知是锐角，且，则　　． 6．若方程的两根为与，则　　． 7．设常数使方程在闭区间，上恰有三个解，，，则　 　． 8．已知，则的值为　 　． 9．若，，则　　． 10．在中，，，的面积为，则　　． 11．已知，则　　． 12．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为 　　． 二．选择题（共4小题） 13．已知，则　　 A． B． C． D． 14．设，，，，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组，，的组数为　　 A．1组 B．2组 C．4组 D．无数组 15．在中，，，，则的解的个数是　　 A．0个 B．2个 C．1个 D．1个或2个 16．已知中，，则　　 A． B． C． D． 三．解答题（共5小题） 17．证明：． 18．在中，角，，所对的边为，，． （1）若，求； （2）若，试判断的形状． 19．如图，折线为海岸线，，，，． （1）求的长度； （2）若，求到海岸线的最短距离．（以上答案都精确到 20．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． （1）求的值； （2）若，求外接圆的面积． 21．某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为．墙的长度为12米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记． （1）若，求的周长（结果精确到0.01米）； （2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积，即的面积尽可能大．如何建造能使得该活动室面积最大？并求出最大面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 三角（单元培优卷） 一．填空题（共12小题） 1．角的终边经过点，且，则　　． 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值． 【解答】解：角的终边经过点，且， ，则， 故答案为：． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 2．已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至．则点的坐标为 　，　． 【分析】直接利用三角函数的定义，将坐标与函数值对应，运用差角公式计算即可． 【解答】解：设以为终边的角为，则由三角函数定义可知：，， 由题意，以为终边的角为， 又， ， 即点的坐标为，， 故答案为：，． 【点评】本题考查三角函数的定义，属基础题． 3．若，则的值为 　　． 【分析】把已知等式利用诱导公式变形，两边平方后再由倍角公式求解． 【解答】解：由， 得， 两边平方得：， 则，可得． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题． 4．已知，则　1　． 【分析】利用诱导公式将原式化简即可求解． 【解答】解：， 原式． 故答案为：1． 【点评】本题考查诱导公式的应用，熟练掌握诱导公式是关键，属于基础题． 5．已知是锐角，且，则　　． 【分析】由题意利用两角和的余弦公式，求得的值，结合的范围，可得的值，从而得出结论． 【解答】解：是锐角，且， ，， ，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题． 6．若方程的两根为与，则　　． 【分析】由已知结合方程的根与系数关系先求出得，，然后结合和差角公式及同角基本关系即可求解． 【解答】解：由题意得，， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了和差角公式及同角基本关系的应用，属于基础题． 7．设常数使方程在闭区间，上恰有三个解，，，则　　． 【分析】由题意可得，根据正弦函数的图象的对称性可得，，由此求得的值． 【解答】解：常数使方程，即，即方程在闭区间，上恰有三个解，，， 根据，，，，，． 则根据正弦函数的图象的对称性可得，， ，，， 故答案为：． 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题． 8．已知，则的值为　　． 【分析】利用诱导公式可得，，从而可得答案． 【解答】解：，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，着重考查诱导公式与同角三角函数间的关系，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题． 9．若，，则　　． 【分析】由，结合可求，利用二倍角公式 可求 【解答】解： 故答案为： 【点评】本题主要考查了差角的余弦公式及同角平方关系的应用，二倍角公式的应用，属于公式的综合应用． 10．在中，，，的面积为，则　　． 【分析】根据已知条件，结合三角形的面积公式，求出，再结合正弦定理，余弦定理，即可求解． 【解答】解：，，的面积为， 则，解得， 故， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题． 11．