第30期 单摆 实验：用单摆测量重力加速度 受迫振动 共振-【数理报】新教材2023-2024学年高二物理选择性必修第一册同步学案（人教版2019）

书 §１．单摆 预习题纲 １．学习单摆，了解单摆的构成． ２．掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的来源， 理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动． ３．学习单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周 期公式，并能用来进行有关计算． 课本预习 一、单摆 将一小球用细线悬挂起来，如果细线的长度不可改 变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的 长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆． 二、单摆的回复力 在偏角很小时，摆球所受的回复力即摆球的重力沿 方向的分力，Ｆ＝ ＝－ｍｇｌｘ，与它偏 离平衡位置的位移ｘ成 ，负号表示方向总与位 移的方向相反，指向 ． 总结：单摆做简谐运动的推证 （１）在任意位置Ｐ，则有向线段→ＯＰ为此时的位移ｘ， 重力Ｇ沿圆弧切线方向的分力Ｇ１ ＝Ｇｓｉｎθ提供摆球以 Ｏ点为中心做往复运动的回复力． （２）在摆角很小时，ｓｉｎθ≈θ＝ ｘｌ１ ，Ｇ１ ＝Ｇｓｉｎθ＝ ｍｇ ｌｘ，Ｇ１方向与摆球位移方向相反，所以有回复力Ｆ回 ＝ Ｇ１ ＝－ ｍｇｘ ｌ．令ｋ＝ ｍｇ ｌ，则Ｆ回 ＝－ｋｘ． 因此，在摆角 θ很小时，单摆做简谐运动．（摆角一 般不超过５°） 特别提醒 （１）单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方 向的分力，回复力不是摆球所受的合外力． （２）单摆的摆动不一定都是简谐运动，只有单摆做 小角度（摆角小于５°）摆动时才认为是简谐运动． 三、单摆的周期 探究单摆周期与摆长之间的关系 （１）分别通过改变单摆的摆球质量、摆长、振幅的 情况下探究单摆的周期与哪些因素有关，这种探究方法 叫 法． （２）实验结论： ①单摆振动的周期与摆球质量 ． ②振幅较小时周期与振幅 ． ③ 摆长越长，周期 ；摆长越短，周期 ． 问题思考 ２０１３年６月２０日，中国首位“太空教师”王亚平在 “天宫一号”内进行了授课．假设王亚平将一个摆钟（如 图）带到空间站内，则该摆动的钟摆周期如何变化？ 思考提示 提示：在空间站内摆球完全失重，回复力为零，等效 值ｇ′＝０，摆球不摆动了，周期无穷大． 周期公式 （１）公式的提出：周期公式是荷兰物理学家 首先提出的． （２）公式：Ｔ＝ ，即Ｔ与摆长ｌ的二次方根 成 ，与重力加速度ｇ的二次方根成 ． 书 第２９期２版参考答案 素养专练１ １．ＡＢ　２．ＢＣ　３．Ｄ　４．ＢＤ　５．Ｂ　６．Ｄ　７．Ｄ 素养专练２ １．Ａ　２．Ａ　３．ＢＤ　４．Ｂ　５．Ｃ　６．Ｃ　７．ＡＣ ８．ＡＤ 素养专练３ １．ＡＤ　２．Ａ　３．Ｃ　４．Ｄ　５．ＡＣ　６．Ｃ　７．Ｃ 第２９期３版参考答案 Ａ组 一、单选题 １．Ｃ　２．Ａ　３．Ｃ　４．Ｄ　５．Ｂ 二、填空题 ６．０．１　０．８　最大　最大　最大　最小． 三、计算题 ７．（１）１０ｃｍ； （２）竖直向下，竖直向下；（３）０，４０ｃｍ． ８．由题意可知，甲的振幅 为２ｃｍ，乙的振幅为３ｃｍ，周 期相同；ｔ＝０时刻时，甲处于 最大位移处；乙的相位比甲落 后八分之一个周期；故图象如 图所示． Ｂ组 一、多选题 １．ＢＤ　２．ＣＤ　３．ＡＤ 二、填空题 ４．２∶１　不相同　相同　４∶１ ｘ＝２ｓｉｎ（π２ｔ）ｃｍ． 三、计算题 ５．解析：（１）如图所示 在平衡位置ｍｇ＝Ｆ浮 平衡位置上Δｘ处时 Ｆ合 ＝ｍｇ－Ｆ′浮 ＝ｍｇ－Ｆ浮 ＋ΔＦ浮 ＝ρｇΔＶ＝ρｇＳΔｓ 方向向下，即回复力Ｆ回 ＝ρｇＳΔｘ设ρｇＳ＝ｋ，位移为 ｘ，方向向上Ｆ回 ＝－ｋｘ，是简谐振动． （２）对小球进行受力分析 重力与支持力的合力提供回复 力Ｆ回 ＝－ｍｇｔａｎ θ ２≈－ｍｇｓｉｎ θ ２ 而且ｓｉｎθ２ ＝ ｘ Ｒ 即Ｆ回 ＝－ｍｇ ｘ Ｒ ｍｇ Ｒ是常数，位移为ｘ，即可表示为Ｆ回 ＝－ｋｘ 即小球以最低点为平衡位置左右振动为简谐振动． 书 用单摆测定重力加速度的实验在最近几年的高考 中几乎每年都登场亮相，而且每次出题都是别出心裁， 下面我们赏析一下该实验的一些创新的思维： 一、用单摆测定重力加速度的基本实验原理 由简谐运动知识可以导出单摆的振动周期： Ｔ＝２π槡 Ｌ ｇ 式中Ｌ是摆长，ｇ是当地的重力加速度．将上式变形 为：ｇ＝４π ２Ｌ Ｔ２ 可见只要能测出单摆的摆长和对应的振动周期，就 可计算出重力加速度ｇ的数值了． 为减小计算误差，可采用多次测量求平均值，计算 时不应先算Ｔ的平均值再求ｇ，而应先求出每次的ｇ值再 平均，其有效数字至少３位． 二、利用单摆测定重力加速度的创新方法 １．两次测量法 【实验原理】在用单摆测定重力加速度的实验中， 实验时若无法测出摆线的长度，可采用以下方法进行： 如图１所示，设单摆的摆长为 Ｌ１， 振动周期为Ｔ１；则单摆的振动周期为Ｔ１ ＝２π Ｌ１ 槡ｇ，可得Ｔ ２ １ ＝ ４π２Ｌ１ ｇ ① 改变单摆的摆长，如图２所示，使 单摆的摆长改变到 Ｌ２，测出摆动周期 Ｔ