第29期 简谐运动 简谐运动的描述 简谐运动的回复力和能量-【数理报】新教材2023-2024学年高二物理选择性必修第一册同步学案（人教版2019）

书 如果一个物体受到的回复力Ｆ与它离开平衡位置 的位移ｘ之间的关系式满足Ｆ＝－ｋｘ（其中ｋ为比例常 量，“－”号表示两者方向相反），那么这个物体就做简 谐运动．这个关系式既向我们描述了简谐运动的动力 学特点，也向我们提供了判断物体是否做简谐运动的 依据． 例１．如图１所示，轻弹簧上端 固定，下端挂一质量为ｍ的物块， 弹簧伸长ｘ０后静止于 Ｏ点，现用 力将物块拉下一小段距离，而后 撤去拉力让其自由振动．试判断 物块的运动是否为简谐运动． 解析：以物块为研究对象，设 Ｏ为坐标原点，竖直向下为ｘ轴正方向． 在平衡位置Ｏ点，有ｋｘ０ ＝ｍｇ 在任一位置Ｐ令位移ＯＰ＝ｘ，物块受竖直向下的 重力ｍｇ和竖直向上的弹力Ｆ１＝ｋ（ｘ０＋ｘ）．则所受的合 力大小是 Ｆ＝ｋ（ｘ＋ｘ０）－ｍｇ 两式联立得Ｆ＝ｋｘ 考虑到Ｆ与ｘ的方向相反，应有Ｆ＝－ｋｘ 可见，竖直方向上的弹簧振子的小幅振动是简谐 运动． 例２．如图２所示，一支密度计稳定在水中，现将它 竖直向上稍提起一小段，然后松手．试证明，若不计水 的粘滞阻力，松手后密度计将做 简谐运动． 证明：以密度计为研究对象， 以密度计稳定时与水面的交点为 坐标原点Ｏ，竖直向上为ｘ轴正方 向． 密度计稳定时，密度计上的Ａ 点与Ｏ点重合，设密度计横截面积为Ｓ，Ａ点以下的体积 为Ｖ，则当密度计稳定时，有ｍｇ＝ρ水 ｇＶ 设在某时刻Ａ点偏离Ｏ点的位移为ｘ，则密度计所 受的合力大小是 Ｆ＝ｍｇ－ρ水 ｇ（Ｖ－Ｓｘ） 两式联立得Ｆ＝ρ水 ｇＳｘ 考虑到Ｆ与ｘ的方向相反，应有Ｆ＝－ρ水 ｇＳｘ 因ρ水 ｇＳ为一常量，故松手后密度计将做简谐运 动． 小结：判断一个物体是否做简谐运动，关键是分析 受力情况．其基本的思路是：首先选取研究对象，确定 平衡位置；其次分析物体偏离平衡位置任一位移ｘ时的 受力情况，写出回复力Ｆ大小的表达式，看回复力的大 小是否跟位移成正比；最后检查回复力的方向跟位移 的方向是否相反，若满足关系式Ｆ＝－ｋｘ（其中ｋ为比 例常量）那么这个物体就做简谐运动． 书 我们知道若一个物体受到的回复力 Ｆ与它离开平 衡位置的位移ｘ之间的关系式满足Ｆ＝－ｋｘ（其中ｋ为比 例常量，“－”号表示两者方向相反），那么这个物体就做 简谐运动．做简谐运动的物体具有对称性：即在距平衡 位置Ｏ等距离的两点上时，具有大小相等的回复力、加 速度、速度等，在Ｏ点两侧相等的距离上的运动时间也 是相等的．若巧妙地应用简谐运动的对称性，可使我们 对一些问题的分析解答十分简便快捷． 例１．一个质点在平衡 位置Ｏ点附近做简谐运动． 若从Ｏ点开始计时，经过３ｓ 质点第一次经过Ｍ点，如图１所示．再继续运动，又经过 ２ｓ它第二次经过Ｍ点，则该质点第三次经过 Ｍ点还需 的时间是 （　　） Ａ．４ｓ　 Ｂ．８ｓ　 Ｃ．１４ｓ　 Ｄ．１０３ｓ 解析：设图中ａ、ｂ两点为质点振动过程的最大位移 处，若开始计时时刻质点从 Ｏ点向右运动，Ｏ→ Ｍ运动 过程历时３ｓ，Ｍ→ｂ→Ｍ过程历时２ｓ，显然 Ｔ ４ ＝４ｓ，Ｔ ＝１６ｓ．质点第三次经过Ｍ点还需要的时间Δｔ３＝Ｔ－２ｓ ＝１６ｓ－２ｓ＝１４ｓ，故选项Ｃ正确． 若开始计时时刻质点从Ｏ点向左运动，Ｏ→ ａ→ Ｏ →Ｍ运动过程历时３ｓ，Ｍ→ｂ→Ｍ运动过程历时２ｓ，显 然 Ｔ ２＋ Ｔ ４ ＝４ｓ，Ｔ＝ １６ ３ｓ．质点第三次再经过Ｍ点所需 要的时间Δｔ′３＝Ｔ－２ｓ＝ １６ ３ｓ－２ｓ＝ １０ ３ｓ，故选项Ｄ正 确． 答案：ＣＤ． 点评：质点做简谐运动经过Ｏ点时，速度方向可能 向右，也可能向左，即具有不确定性，所以要分别讨论． 运用简谐运动的时间对称性，使我们对运动过程的分析 清晰条理，解答顺利快捷． 例２．两木块Ａ、Ｂ质量分别为ｍ、 Ｍ，用劲度系数为 ｋ的轻弹簧连在一 起，放在水平地面上，如图２所示，用 外力将木块Ａ压下一段距离静止，释 放后Ａ做简谐运动，在Ａ振动过程中， 木块Ｂ刚好始终未离开地面．求： （１）木块Ａ的最大加速度； （２）木块Ｂ对地面的最大压力． 解析：（１）木块Ｂ刚好始终未离开地面，隐含Ａ做简 谐运动到达最高点时，弹簧处于拉伸状态，对 Ｂ的弹力 向上，大小为Ｆ１ ＝Ｍｇ；此时Ａ的受力情况为：向下的重 力ｍｇ和弹簧对Ａ的向下的弹力Ｆ′１＝Ｆ１．对Ａ应用牛顿 第二定律，有ｍｇ＋Ｆ′１＝ｍａｍ解得ａｍ ＝ ｍ＋Ｍ ｍ ｇ． （２）Ａ做简谐运动到达最低点时，弹簧的压缩量最 大，对Ｂ向下的压力最大，木块Ｂ对地面的压力也最大． 由简谐运动的对称性知，Ａ在两个极端位置即最高 点和最低点的加速度大小相等．在最低点对Ａ应用牛顿 第二定律，有Ｆ２－ｍｇ＝ｍａｍ 对Ｂ应用平衡条件，有ＦＮ ＝Ｆ′２＋Ｍｇ 联立解得ＦＮ ＝２（ｍ＋Ｍ）ｇ 由牛顿第三定律知，木块Ｂ对地面的最大压力也为 ２（ｍ＋Ｍ）ｇ． 点评：选取好研究对象，