第06讲 复数的概念（春季讲义）-2023-2024学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第06讲 复数的概念 【人教A版2019】 ·模块一 数系的扩充和复数的概念 ·模块二 复数的几何意义 ·模块三 课后作业 模块一 数系的扩充和复数的概念 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①=-1，即i是方程+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【考点1 复数的基本概念】 【例1.1】（23-24高二上·上海徐汇·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．任意两个复数都能比较大小 B．任意两个复数都不能比较大小 C．设，如果，那么 D．设，如果，那么 【例1.2】（22-23高一下·浙江舟山·阶段练习）若，则复数的实部、虚部分别是（       ） A．， B．， C．， D．， 【变式1.1】（22-23高一下·全国·课时练习）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【变式1.2】（23-24高一·全国·课时练习）已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i ，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，则a的值为（   ） A．0 B．－1 C． D． 【考点2 已知复数的类型求参数】 【例2.1】（23-24高三上·山东德州·阶段练习）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A．且 B． C． D．或 【例2.2】（23-24高三上·黑龙江双鸭山·阶段练习）设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.1】（2023高二·湖南·学业考试）已知，为虚数单位，，若为实数，则取值为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（22-23高一下·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点3 复数的相等的求参问题】 【例3.1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3.2】（23-24高一·全国·课时练习）若，是虚数单位，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高一下·广东江门·期末）实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（    ） A． B．2 C．3 D． 【变式3.2】（22-23高一下·山西阳泉·期末）已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块二 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)