第05讲 解三角形拓展与应用（春季讲义）-2023-2024学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第05讲 解三角形拓展与应用 【人教A版2019】 ·模块一 解三角形综合问题 ·模块二 测量问题 ·模块三 课后作业 模块一 解三角形综合问题 1.解三角形中的重要模型——中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 2.解三角形中的重要模型——倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 3.解三角形中的重要模型——角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则 4.三角形中的最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运 用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边 角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 【考点1 】 【例1.1】（22-23高一下·黑龙江绥化·阶段练习）设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边比为1：2：3的三角形 【例1.2】（22-23高一下·甘肃天水·阶段练习）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【变式1.1】（22-23高一下·辽宁鞍山·阶段练习）在中，若，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1.2】（22-23高一下·四川成都·期末）在中，若，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．有一个内角为的直角三角形 【考点2 三角形中的边、角计算】 【例2.1】（22-23高一下·山西朔州·阶段练习）在中，，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高二上·云南大理·期末）如图，已知在的内接四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD（如图乙），测得，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（    ）    A． B． C． D． 【变式2.2】（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）如图，教室里悬挂着日光灯管，灯线，将灯管绕着过中点的铅垂线顺时针旋转至，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了，则的长为（    ） A． B． C． D． 【考点3 证明三角形中的恒等式或不等式】 【例3.1】（2023·全国·模拟预测）在中，，且，，均为整数． (1) 求的大小； (2) 设的中点为，求证：． 【例3.2】（22-23高三上·重庆渝中·阶段练习）已知在锐角中，. (1)证明：； (2)求的取值范围. 【变式3.1】（23-24高三上·江苏·开学考试）如图，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F．    (1)试证明： (2)若P为重心，，求的面积． 【变式3.2】（23-24高三上·广东·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D是边上一点，，，，且． (1)若，证明：； (2)在（1）的条件下，且，求的值． 【考点4 】 【例4.1】（2023·广西柳州·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（22-23高一下·山东青岛·期中）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C．6 D． 【变式4.1】（22-23高二下·河南开封·期末）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， ．若，则面积的最大值为（    ） A． B． C．16 D． 【变式4.2】（23-2