7.1 条件概率与全概率公式- 2023-2024学年高二数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019选择性必修第三册）

条件概率与全概率公式 1 条件概率 ① 定义 一般地，设为两个事件,且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率. 解释 (1) 求“事件已发生，事件发生的概率”，可理解：如图，事件已发生，则为样本空间，此时事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值，即 (通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，就是以为样本空间计算的概率) Eg: 某地7月份吹南风(事件)的概率是，下雨(事件)的概率是，即吹南风又下雨的概率是，那在吹南风的条件下下雨的概率是, 在下雨的条件下吹南风的的概率是. (2) 当时，当且仅当事件与相互独立时，有. ② 概率的乘法公式 对任意两个事件与，若，则 设，则 (1)； (2) 如果和互斥，那么 ； (3) 设和互为对立事件，则. 2 全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有 我们称它为全概率公式. 解释 (1)如下图，外圈是样本空间，分成互斥事件；内圈是样本空间，对应分成互斥事件； 则. (2) 它表示求样本空间内任意一事件的概率的方法. 3 贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，且， 解释 贝叶斯公式告诉我们两个条件概率之间的关系. 【题型1】对条件概率概念和性质的理解 【典题1】 设为两个事件，已知，则 A. 0.24 B. 0.375 C. 0.4 D. 0.5 【典题2】 事件，且两两独立，若，则为 . 【巩固练习】 1.(★)设集合，且，则下列说法正确的是 A. B. C. D. 2.(★★) (多选)已知为随机事件，则下列表述中不正确的是 A. B. C. D. 3.(★★★)已知事件满足，则不能说明事件相互独立的是( ) A. B. C. D. 4.(★★★)(多选)设为同一随机试验的两个随机事件，若，则( ) A. B. C. D. 【题型2】 求条件概率 【典题1】 在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换 元件的概率为0.2 ，需要更换 元件的概率为0.1 ，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是( ) A. B. C. D. 【典题2】 (多选)2023 年旅游市场强劲复苏，7，8 月的暑期是旅游高峰期. 甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划 2024 年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择. 事件为“甲选择北京”，事件为“乙选择上海”，则下列结论正确的是( ) A. 事件互斥 B. C. D. 【巩固练习】 1.(★) 抛郑一枚质地均匀的骰子两次，记 两次的点数均为偶数 两次的点数之和为8，则 A. B. C. D. 2.(★)某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售. 检测人员从这批产品中随机抽取了 5 件产品来检测，现已知这 5 件产品中有3 件正品，2 件次品，从中不放回地取出产品，每次 1 件，共取两次. 已知第一次取得次品，则第二次取得正品的概率是( ) A. B. C. D. 3.(★★) 甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这 5 个景点中随机选一个. 事件 : 甲和乙选择的景点不同，事件 : 甲和乙恰好有一人选择九寨沟. 则条件概率 A. B. C. D. 4.(★★★)2023 杭州亚运会于9 月 23 日至 10 月 8 日举办，组委会将甲、乙、丙、丁 4 名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，每座体育馆至少派 1 名志愿者，表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”；表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”；C表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”，则( ) A. 事件相互独立 B. 事件为互斥事件 C.