大题强化及变式训练（1）-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练（新高考九省联考题型）

2024届高三二轮复习大题强化训练及变式训练（1） 1．在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，为的中点，求． 变式：在中，内角的对边分別为，. （1）求角C； （2）若，求角的平分线的长度. 2．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 变式：如图，在圆锥中，若轴截面是正三角形，C为底面圆周上一点，F为线段上一点，D（不与S重合）为母线上一点，过D作垂直底面于E，连接，且． （1）求证：平面平面； （2）若为正三角形，且F为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 3．某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为． （1）记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望； （2）学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由． 变式： 某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求． （1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？ 性别 就餐区域 合计 南区 北区 男 33 10 43 女 38 7 45 合计 71 17 88 （2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，． （ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率； （ⅱ）求第天他去甲餐厅用餐的概率． 附：； 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 4．如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：； （3）若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 变式：已知椭圆：的离心率为，且过点，点与点关于原点对称，过点作直线l与E交于，两点（异于点），设直线与的斜率分别为，． （1）若直线l的斜率为，求的面积； （2）求的值． 5．已知函数，其中，为自然对数的底数． （1）函数，求的最小值； （2）若为函数的两个零点，证明：． 变式：已知函数是的导函数. （1）证明：在上存在唯一零点； （2）设函数. ①当时，求函数的单调区间； ②当时，讨论函数零点的个数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届高三二轮复习大题强化训练及变式训练（1） 1．在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，为的中点，求． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可得解； （2）由余弦定理求出，再由，根据数量积的运算律计算可得. 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 在中，， 则有， ， ，又，， ，，又，； （1）根据余弦定理有， 则有，解得或（舍去）， 为的中点，则， ， ． 变式：在中，内角的对边分別为，. （1）求角C； （2）若，求角的平分线的长度. 【答案】(1) (2) 1 【分析】（1）利用两角和正弦公式及正弦定理化简得，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求解； （2）利用余弦定理求得，根据面积相等建立方程求解即可 【解析】（1）由得. 由正弦定理得， 得，得. 因为，所以，即，又，所以. （2）由余弦定理得，可得， 又，所以， 即，所以. 2．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理逆定理可得，后结合平面平面，可得，后结合可得结论； （2）由（1）结合题意建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，即可得答案. 【解析】（1）不妨设， ， 由余弦定理得， 在中，， 平面平面，平面平面平面， 平面． 平面， 四边形是菱