复数- 2023-2024学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

复数 1 虚数单位的性质 叫做虚数单位，并规定： ① 可与实数进行四则运算； ② ，这样方程就有解了，解为，. ③ 以为周期，即. 2 复数的概念 ① 定义 形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，叫做实部，叫做虚部.全体复数所成的集合叫做复数集.复数通常用字母表示，即. ② 分类 3 复数相等 也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等. PS 只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小. 4 共轭复数 的共轭复数记作，且. 5 复数的几何意义 ① 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. ② 复数的几何意义 复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系(复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量)相等的向量表示同一个复数. ③ 复数的模 向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离， 即 ， 6 代数形式的四则运算 ① 运算法则 设， ② 加减法的几何意义 几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形可以直观地反映出复数加减法的几何意义， 即 若， (1) 表示到的距离，即 (2) 表示以为圆心，为半径的圆. 复数的三角表示 ① 一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形表示式. 规定：在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作，即. ② 复数的代数形式与三角形式的互换 ③ 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 设， 则， . 【题型1】 复数的概念与分类 【典题1】 求当为何实数时，复数满足： (1为实数； (2为纯虚数； 【巩固练习】 1. (★)已知为虚数单位，且 ，则的值为( ). 2. (★) 若复数是纯虚数，则实数的值为　 　． 3. (★★)若，且是纯虚数，则　 　． 【题型2】复数的几何意义与运算 【典题1】 已知复数(i为虚数单位)，下列说法 其中正确的有(　　) ①复数在复平面内对应的点在第四象限；②； ③z的虛部为；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典题2】设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( ) A．若，则或 B．若，则点的集合为以为圆心，为半径的圆 C．若，则点的集合所构成的图形的面积为 D．若，则点的集合中有且只有两个元素 【巩固练习】 1. (★) 已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为( ) A. B. C. -1 D. 1 2. (★★) 复数是虚数单位，则下列结论正确的是(　　) A． B．的共轭复数为 C．的实数与虚部之和为1 D．在平面内的对应点位于第一象限 3. (★★)(多选)已知复数(i为虚数单位)，的共轭复数，若复数，则下列结论正确的有(　　) A．在复平面内对应的点位于第二象限 B． C．的实数部分为 D．的虚部为 4. (★★★)设为虚数单位 为复数，则下列说法正确的是 A. 若是纯虚数，则 或 B. 复数 模长的平方值等于复数的平方值 C. 若的模长为1 ，则的最大值为2 D. 若，则 5. (★★)设复数满足，则 . 6. (★★)复数 与复数在复平面内对应的点分别为，若为坐标原点，则钝角的大小为 . 7. (★★★)已知复数是虚数单位)，的共轭复数． (1)证明 ； (2)分别求的值； (3)求的值． 8. (★★★)设复数（其中，． （1）若是纯虚数，求． （2）求满足的复数在复平面上对应的点构成的图形的面积． 【题型3】 复数的新颖题型 【典题1】 已知复数，满足，下列说法正确的是 ( ) A. 若，则 B. C. 若，则 D. 【巩固练习】 1. (★★) (多选)已知复数，复数 所对应的向量分别为，其中为坐标原点，则 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. (★★) (多选)已知 与 是共轭复数(虚部均不为0 )，下列结论中一定正确的有 ( ) A. B. C. D. 3. (★★) (多选)已知复数，其共轭复数为，下列结论正确的是 ( )