8.1.3 向量数量积的坐标运算（2知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

8.1.3 向量数量积的坐标运算 课程标准 学习目标 （1）能用坐标表示向量的数量积； （2）会用坐标表示两个平面向量的夹角； （3）能用坐标表示平面向量垂直的条件。 （1）通过对向量的数量积的坐标运算的学习，发展直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养。 （2）掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算； （3）能够用两个向量的坐标来解决与向量模、夹角、垂直的有关的问题。 知识点01 向量的坐标与向量的数量积 1、向量的坐标：在平面直角坐标系中，分别给定与轴、轴正方向相同的单位向量，之后，如果对于平面内的向量，有，则就是向量的坐标，记作，而且是一组正交基底。 2、向量的数量积：若，，则 两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。 【即学即练1】已知，若，则等于（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 知识点02 平面向量坐标表示的几个公式 1、向量模的坐标表示 （1）若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 2、向量夹角的坐标表示：设两个非零向量，，与的夹角为， 则 3、两个向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则 【即学即练2】（23-24高一下·山东烟台·开学考试）（多选）设向量，，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型一：向量数量积坐标运算】 例1．（22-23高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-1．（22-23高一下·贵州黔西·期中）已知向量，，，则的最小值是（ ） A． B． C．1 D．2 变式1-2．（22-23高一下·天津滨海新·期中）在矩形ABCD中，若，，且，则的值为（ ） A． B．1 C． D．2 变式1-3．（22-23高一下·甘肃武威·阶段练习）在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（ ） A．0 B． C． D．2 【方法技巧与总结】 数量积坐标运算的技巧 1、进行向量的数量积运算时，通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算； 2、在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积。 【题型二：向量模的坐标表示】 例2．（22-23高一下·北京·期中）已知向量，，则（ ） A． B．4 C． D．6 变式2-1．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知，则= 变式2-2．（22-23高一下·云南昆明·阶段练习）设向量，，，则（ ） A． B． C． D．10 变式2-3．（22-23高一下·广东梅州·期末）在直角坐标系中，已知，，若，恒成立，则（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求向量模的两种基本策略： 1、字母表示下的运算：利用，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题； 2、坐标表示下的运算：若，则，于是有 【题型三：向量夹角的坐标表示】 例3．（22-23高一下·重庆綦江·期中）已知，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 变式3-1．（22-23高三上·江苏南通·阶段测试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 变式3-2．（2024高一下·全国·专题练习）已知菱形中，，点为上一点，且，则的余弦值为 . 变式3-3．（22-23高一下·福建龙岩·期中）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为 ． 【方法技巧与总结】 1、若求向量与的夹角，利用公式，当向量的夹角为特殊角时，再求出这个角。 2、非零向量与的夹角与向量的数量积的关系 （1）若为直角，则充要条件为向量，则转化为； （2）若为锐角，则充要条件为向量，且与的夹角不能为0（即与的方向不能相同）； （3）若为钝角，则充要条件为向量，且与的夹角不能为（即与的方向不能相反）； 【题型四：向量垂直的坐标表示】 例4．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知向量，，且，则（ ） A． B．2 C． D． 变式4-1．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）