5.4 导数与函数的极值、最值-2023-2024学年高二数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019选择性必修第二册）

5.4 导数与函数的极值、最值 1 极值的概念 若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值； 若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． PS： ① 把函数图象看成一座“山脉”，极大值就是“山峰”，极小值就是“山谷”， 如下图； ② 极值是“函数值”，极值点是“自变量值”，如下图有极大值和，极小值和，极大值点和，极小值点和. ③ 对于极值还有特别强调一下 Eg 设是函数的极值点，则下列说法准确的是( ) A. 必有 B.不存在 C. 或不存在 D.存在但可能不为 解析：函数， ， 但时，时，； 故根据极值的定义，不是函数的极值点，这个从函数图象也很容易知道. 又如函数， 当时，； 当时，； 所以在处取到极值，但在导数不存在；故选. 总结 ① 若可导，且是的解； ② 若是的解，. ③ 定义很重要. 2 求函数的极值的方法 解方程，当时： (1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 3 函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【题型1】 极值的概念 【典题1】 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么 ( ) A. - 1 是函数 的极小值点 B. 1 是函数 的极大值点 C. 2 是函数 的极大值点 D. 函数 有两个极值点 【典题2】若函数 在 处有极大值，则常数 为 A. 2 B. 6 C. 2 或 6 D. -2 或 -6 【巩固练习】 1. (★) 下列四个函数，在 处取得极值的函数是( ) (1) ； (2) ； (3) ； (4) . A. (1)(2) B. (2)(3) C. (3)(4) D. (1)(3) 2. (★) (多选)判断下列命题正确的是( ) A. 函数的极小值一定比极大值小 B. 对于可导函数 ，若 ，则 为函数的一个极值点 C. 函数 在 内单调，则函数 在 内一定没有极值 D. 三次函数在 上可能不存在极值 3. (★★)若函数处取得极值(　　) A． B． C． D． 4. (★★) 已知函数 在 上既有极大值，也有极小值，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. 且 D. 或 5. (★★★)设函数 满足 ，若 ，则 A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值 6. (★★★)若函数 在 上有且仅有一个极值点，则实数 的取值范围为 . 【题型2】 求函数极值 【典题1】 函数为自然对数的底数)，则下列说法正确的是(　　) A．上只有一个极值点 B．上没有极值点 C．处取得极值点 D．处取得极值点 【典题2】(多选)已知函数 是不为零的常数 ，则 A. 函数 的极大值点为负 B. 函数 的极大值点为正 C. 函数 的极大值为正 D. 函数 的极大值为负 【巩固练习】 1. (★) (多选)若函数 ，则 A. 函数 只有极大值没有极小值 B. 函数 只有最大值没有最小值 C. 函数 只有极小值没有极大值 D. 函数 只有最小值没有最大值 2. (★★)已知函数是函数的极值点，以下几个结论中正确的是(　　) A． B． C． D． 3. (★★★)(多选)已知函数 的定义域为 ，则 A. 为奇函数 B. 在 上单调递减 C. 恰有 2 个极值点 D. 有且仅有 2 个极大值点 4. (★★★★)已知函数的图象在点处的切线与直线平行． (1)求实数的值；(2)讨论极值点的个数． 【题型3】 求函数最值 【典题1】 函数 在 取最大值时 A. 0