专题02 求空间角及空间向量的应用（三大类型）-2024年新高考数学解答题核心考点分解训练与突破（新高考二轮复习）

02求空间角及空间向量的应用 一、必备知识： 1. 夹角公式:设，，则. 2. 异面直线所成角： （其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量） 3. 直线与平面所成角，(为平面的法向量). 4. 二面角的平面角：（，为平面，的法向量）. 5. 异面直线间的距离 ：(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离). 6. 点到平面的距离 ：（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 二、题组 题组一：线线角 经典例题： 例1．如图，在三棱锥中，，若，则直线与所成角的大小是 .    例2．如图，长方体中，，点在线段上，且为线段的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 例3．如图，在圆锥中，是底面圆直径，，，为的中点.则直线与直线所成角的余弦值为 . 例4．如图，四边形和均为正方形，且，平面平面分别为的中点，为线段上的动点，则异面直线与所成角的余弦值最大时， .    变式训练： 1．如图，在正四面体中，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 2．如图，在正方体中，点P满足，则直线与直线所成角的余弦值为 ． 3．如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，，，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的余弦值的最大值为 ． 4．如图，在中，，在直角梯形中，，，记二面角的大小为，若，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 ． 达标检测： 1．如图，在三棱锥中，，点在线段上，且，则直线与直线所成角的余弦值为 ． 2．如图，圆锥的底面直径，高，D为底面圆周上的一点，，则直线AD与BC所成角的大小为 . 3．如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为 . 题组二：线面角 经典例题： 例1．如图，在长方体中，，，对角线与平面交于点．则与面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．    例2．如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为AE，BC的中点，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为 ．    例3．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．若PD=AD=1，Q为l上的点，则PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为 ． 变式训练： 1．如图，在几何体中，，，，，，平面，则直线与平面所成角的正弦值为 .    2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BCAD，PA⊥平面ABCD且AB＝BC＝PA＝1，AD=2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为 ． 3．如图，已知平面，，，，，.若，，则与平面所成角的余弦值为 . 4．如图，在棱长为1的正方体中，为面对角线上的一个动点（包含端点），直线与平面所成角为，则的最大值为 . 达标检测： 1．如图，平面，，且，则直线与平面所成角的正切值为 . 2．如图，在长方体中，，，则与平面所成的角的正弦值为 ． 3．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，若，，为的中点，则与平面所成角的正弦值为 ． 4．如图，在正四棱柱中，，，点P是侧面内的动点，且，记AP与平面所成的角为，则的最大值为 ． 题组三：二面角 经典例题： 例1．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱.则这个二面角的余弦值为 . 例2．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．设D为的中点，，平面平面，则二面角的正弦值为 ． 例3．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．若点F满足，则二面角的正弦值为 ． 例4．如图,在正四棱柱中,,点分别在棱,上,,若点在棱上,当二面角为时,则 ．    变式训练： 1．在四棱锥中,底面是正方形,若,则二面角的平面角的余弦值为 ． 2．如图，在正三棱柱中，D，E分别为棱的中点，在棱上，且EF平