《数理报》高考数学信息优化卷(三)——三角函数与平面向量-【数理报·抢分计划】2024年新高考数学题型解析冲击训练

书 （时间：１２０分钟　满分：１５０分） 一、单项选择题（本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．已知向量ａ，ｂ满足ａ＋ｂ＝（２，３），ａ－ｂ＝（－２，１），则｜ａ｜２－｜ｂ｜２ ＝ （　　） （Ａ）－２ （Ｂ）－１ （Ｃ）０ （Ｄ）１ ２．在△ＡＢＣ中，（ａ＋ｃ）（ｓｉｎＡ－ｓｉｎＣ）＝ｂ（ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢ），则∠Ｃ＝ （　　） （Ａ）π６ （Ｂ） π ３ （Ｃ） ２π ３ （Ｄ） ５π ６ ３．设甲：ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＝１，乙：ｓｉｎα＋ｃｏｓβ＝０，则 （　　） （Ａ）甲是乙的充分条件但不是必要条件 （Ｂ）甲是乙的必要条件但不是充分条件 （Ｃ）甲是乙的充要条件 （Ｄ）甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 ４．已知ｆ（ｘ）＝ １２ｓｉｎ２ｘ，关于该函数有下列四个说法： ①ｆ（ｘ）的最小正周期为２π； ②ｆ（ｘ） [在 －π４，π ]４ 上单调递增； ③当ｘ (∈ －π６，π ]３ 时，ｆ（ｘ） [的取值范围是 －槡３４，槡３]４ ； ④ｆ（ｘ）的图象可由ｇ（ｘ）＝ １２ (ｓｉｎ ２ｘ＋π )４ 的图象向左平移π８个单位长度得到． 以上四个说法中，正确的个数为 （　　） （Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４ ５．（２０２３山西省太原市期末）设向量ａ，ｂ，ｃ都是单位向量，且２ａ＝ｂ－槡３ｃ，则ａ，ｂ的夹角为 （　　） （Ａ）π６ （Ｂ） π ４ （Ｃ） π ３ （Ｄ） ２π ３ ６．已知四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的底面是边长为４的正方形，ＰＣ＝ＰＤ＝３，∠ＰＣＡ＝４５°，则△ＰＢＣ的面积为 （　　） （Ａ）槡２２ （Ｂ）槡３２ （Ｃ）槡４２ （Ｄ）槡６２ ７．（２０２３安徽省淮南一模）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝３，ＡＣ＝５，点Ｎ满足→ＢＮ＝２→ＮＣ，点Ｏ为△ＡＢＣ的外心，则 →ＡＮ·→ＡＯ的值为 （　　） （Ａ）１７ （Ｂ）１０ （Ｃ）１７２ （Ｄ） ５９ ６ ８．（２０２３四川省宜宾市模拟）如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝π２，∠Ｂ＝ π ６，ＡＣ＝４， Ｄ在ＡＣ上且ＡＤ∶ＤＣ＝３∶１，当∠ＡＥＤ最大时，△ＡＥＤ的面积为 （　　） （Ａ）３２ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）槡３３ 二、多项选择题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得５分，有错选的得０分，部分选对的得３分．） ９．（２０２３山东省高考模拟）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎｘ，ｘ≤ π４， ｃｏｓｘ，ｘ＞π４ { ，则下列结论正确的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）ｆ（ｘ）不是周期函数 （Ｂ）ｆ（ｘ）是奇函数 （Ｃ）ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝π４对称 （Ｄ）ｆ（ｘ）在ｘ＝ ５π ２处取得最大值 １０．已知函数ｆ（ｘ）＝Ａｃｏｓ（ωｘ＋φ）（ω＞０，｜φ｜＜π２）的部分图象如图２所示，则 （　　） （Ａ）ω＝π４ （Ｂ）φ＝－ π ４ （Ｃ）ｆ（１０３０）＝０ （Ｄ）ｆ（ｘ）在［１０，１８］上单调递增 １１．（２０２４河北高三阶段练习）已知ａ＝（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ），ｂ＝（ｃｏｓｘ，槡３ｃｏｓｘ），函数ｆ（ｘ）＝ａ·ｂ， 则下列选项正确的是 （　　） （Ａ）函数ｆ（ｘ） [的值域为 －１２， ]３２ （Ｂ）将函数ｙ＝ｓｉｎｘ＋１２图象上各点横坐标变为原来的 １ ２（纵坐标不变），再将所得图象向左平移 π １２个单位长度，可 得函数ｆ（ｘ）的图象 （Ｃ）函数ｆ（ｘ）是奇函数 （Ｄ）函数ｆ（ｘ）在区间［０，２π］内所有零点之和为１４π３ １２．（２０２３广东梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）已知△ＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ．其面积为Ｓ，周 长为Ｌ．若ａｓｉｎＡ＋Ｂ２ ＝ｃｓｉｎＡ，且ｃ＝２，则 （　　） （Ａ）Ｃ＝π６ （Ｂ）Ｓ的最大值为槡３ （Ｃ）△ＡＢＣ的外接圆半径为 槡２３３ （Ｄ）Ｌ的最小值为６ 三、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．把答案填在题中横线上） １３．已知ｔａｎα＝－２，则２ｓｉｎα＋ｃｏｓαｃｏｓα－ｓｉｎα ＝ ． １４．（２０２３齐齐哈尔一模）已知两个单位向量 ａ，ｂ的夹角为１２０°，ｃ＝ｔａ＋（ｔ－１）ｂ．若 ａ·ｃ＝１，则实数 ｔ的值为 ． １５．记函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ（ωｘ＋φ）（ω＞０，０＜φ＜π）的最小正周期为Ｔ，若ｆ（Ｔ）＝槡３２，ｘ＝ π ９为ｆ（ｘ）的零点，则ω 的最小值为 ． １６．（２０２３广州市天河区二模）如图３，在△ＡＢＣ中，点Ｐ在ＢＣ边上，∠ＰＡＣ＝６０°，ＰＣ＝２，ＡＰ ＋ＡＣ＝４，若△ＡＢＣ的面积是 槡３３２，则ｓｉｎ∠ＢＡＰ＝ ． 四、解答题