6.4.3.3正余弦定理应用举例课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.5 正、余弦定理应用举例 a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝a2＋c2－2accosB c2＝a2＋b2－2abcosC 1.余弦定理 2.余弦定理的推论（变形式） cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝ ． 3.正弦定理 4. 正弦定理的推论（变形式）sin A∶sin B∶sin C= ； a:b:c 学习目标 1.理解测量中的基线等有关名词、术语的确切含义； 2.会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题. 预习教材P48－P51的内容，思考以下问题： 1．什么是基线？ 2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？ 3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？ 1．基线 在测量过程中我们把根据测量的需要而确定的 叫做基线． 2．基线与测量精确度的关系 一般来说，基线越长，测量的精确度越 ． 线段 高 2.实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 南偏西60°（指以正 南方向为始边，转向目标方向线形成的角） 题型1测量距离问题 例1　如图，某货轮在A处看灯塔B位于北偏东75°方向，距离为12海里，在A处看灯塔C位于北偏西30°方向，距离为8海里，货轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B位于南偏东60°方向，求： (1)A处与D处之间的距离； (2)灯塔C与D处之间的距离． 解析：(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∠DAB＝75°， ∴B＝180°－60°－75°＝45°. 又AB＝12海里， ∴由正弦定理可得AD＝＝＝24(海里)， 即A处与D处之间的距离为24海里． (2)在△ACD中，由余弦定理可得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos 30°＝192，∴CD＝8海里，即灯塔C与D处之间的距离为8海里． 【方法归纳】 求距离问题时应注意的两点 (1)选定或确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则先把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 跟踪训练1　已知A，B，C，D四个景点，如图，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°，A，D相距2 km，C，D相距(3) km，求A，B两景点的距离． 解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理得＝.即BD＝＝2(km)． 在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD， 所以△ABD为等边三角形，所以AB＝2(km)． 所以A，B两景点的距离为2 km. 题型2测量高度问题 例2　在学校每周一举行的升旗仪式上，从坡角为15°的看台上，同一列的第一排和最后一排分别测得旗杆顶部的仰角为60°和30°.若同一列的第一排和最后一排之间的距离为10米(如图所示)，则旗杆的高度为________米． 解析：如图所示，记看台上的一列为BC，旗杆为OP， 依题意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，∠PBO＝60°，BC＝10(米)，∴∠CPB＝180°－45°－105°＝30°， ∴在△PBC中，由正弦定理可知PB＝·sin ∠PCB＝20(米)， ∴在Rt△POB中，OP＝PB·sin ∠PBO＝20＝30(米)， 即旗杆的高度为30米． 【方法归纳】 测量高度问题一般涉及仰角、俯角等，在画图时，要注意运用空间想象力．解题时要尽可能地寻找直角三角形，利用直角三角形中的特殊关系解决问题，避免复杂的运算． 跟踪训练2　如图，为了测量山顶上灯塔CD的高度，某人从高h＝40的楼AB的底部A处和楼顶B处测得灯塔顶部D处的仰角分别为β＝60°，α＝30°.若山顶高a＝35，则灯塔的高度是(　　) A．15　　 B．25 C．40 D．60 解析：过点B作BE⊥DC于点E，过点C作CF⊥AF于点F. 如图所示，在△ABD中，由正弦定理得＝， 即＝， 所以AD＝. 在Rt△ADF中，DF＝AD sin β＝. 又知山高为a，则灯塔的高度CD＝DF－CF＝－a＝－35＝60－35＝25.故选B. 题型3测量角度问题 例3　在海岸A处，发现北偏东45°方向、