专题05 解三角形（七大题型，重难点突破）-【课后优辅导】2024年春季高一数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题5 解三角形 知识点一：基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 知识点二：相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 重难点题型一：正弦定理的应用 例1．（2024·江西赣州·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2024高一·全国·专题练习）在中，若，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 例3．（2024·辽宁·一模）在中，，，则外接圆半径为 . 变式训练1．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 变式训练2．（2024高二·全国·竞赛）在锐角三角形中，边，，则边的取值范围是 ． 变式训练3．（22-23高二上·河南·阶段练习）在中，内角的对边分别为，有，，，则 . 重难点题型二：余弦定理的应用 例4．（2024·北京平谷·模拟预测）若的面积为，且为钝角，则 ；的取值范围是 ． 例5．（23-24高三下·山东·开学考试）已知在中，，则（    ） A．1 B． C． D． 例6．（2022高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，且．若，则（    ） A． B． C． D． 变式训练4．（2024高三·全国·专题练习）在中，三内角对应的边分别为，且，则面积的最大值为 ． 变式训练5．（2024高三·全国·专题练习）在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（ ） A． B． C． D． 变式训练6．（2023·江苏苏州·模拟预测）(多选题)已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，满足，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．存在使得 D．存在使得 重难点题型三：判断三角形的形状 例7．（2024·四川成都·模拟预测）已知的内角A，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 例8．（2022高三·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别是，，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 变式训练7．（14-15高一下·福建·阶段练习）在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，则此三角形的形状一定是（    ） A．等腰直角 B．等腰或直角 C．等腰 D．直角 变式训练8．（2023高一·全国·专题练习）对于，（角所对的边分别为中的余弦定理是），则下列说法正确的是（    ） A．若，则一定为等腰三角形 B．若，则一定为等腰三角形 C．若，则 D．若，则一定为锐角三角形 重难点题型四：正、余弦定理与的综合 例9．（23-24高三下·重庆·开学考试）在中，内角的对边分别为，则的值为（    ） A． B． C． D．3 例10．（2022·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，，则的最大值为 . 变式训练9．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 变式训练10．（2023高三上·全国·专题练习）（多选题）对于，有如下判断，其中正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，则符合条件的有两个 D．若，则是钝角三角形 重难点题型五：解三角形的实际应用 例11．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在点处的测量觇标高米，攀登者们在处测得，到觇标底点和顶点的仰角分别为，则的高度差约为（    ） A．7.32米 B．7.07米 C．27.32米 D．30米 例12．（2024高三下·全国·专题练习）鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今已有四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点、、处分别测塔顶的仰角为、、，且m，则文星塔高为 m.    变式训练11．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁