专题04 求数列前n项的和（六大题型，重难点突破）-【课后优辅导】2024年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题04 求数列的前n项和 知识点一．公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． 知识点二．几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 【解题方法总结】常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 重难点题型一：公式法求和 例1．（23·24高二上·河南洛阳·期末）已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为的等比数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 例2．（23·24高三上·山东济宁·期末）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 变式训练1．（15·16高二上·甘肃白银·期末）已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和. 变式训练2．（2024·湖北武汉·模拟预测）各项均不为0的数列对任意正整数满足：． (1)若为等差数列，求； (2)若，求的前项和． 重难点题型二：分组求和 例3．（23·24高二上·浙江温州·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前10项和． 例4．（2024·陕西·一模）记数列的前n项和为，已知，且满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列是以1为首项，3为公差的等差数列，的前n项和为，求. 变式训练3．（23·24高二上·广西百色·期末）已知等差数列和正项等比数列满足：，，. (1)求数列，的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和. 变式训练4．（23·24高二上·河北唐山·期末）数列是首项为1，公比为正数的等比数列，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 重难点题型三：裂项相消求和 例5．（23·24高三下·广东·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 例6．（23·24高二上·山东青岛·期末）已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式 (2)设，记数列的前项和为，证明． 变式训练5．（23·24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 变式训练6．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，且为，的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：. 重难点题型四：错位相减求和 例7．（23·24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 例8．（23·24高三下·四川雅安·开学考试）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 变式训练7．（23·24高二上·山西·期末）已知数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 变式训练8．（2024·山西临汾·一模）已知数列的首项，且满足，等比数列的首项，且满足. (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 1．（23·24高二下·陕西·开学考试）在等差数列中，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 2．（23·24高三下·湖南·开学考试）已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，，求数列的前项和． 3．（23·24高三上·河南驻马店·期末）已知数列的前项和为，且满足. (1)令，求数列的通项公式； (2)求. 4．（23·24高三上·河北秦皇岛·阶段练习）已知数列和满足：，，（为常数，且）． (1)证明：数列是等比数列； (2)①求数列的通项公式； ②若当和时，数列的前项和取得最大值，求的表达式． 5．（23·24高二上·福建三明·期末）等差数列中，，． (1)求数列的通项公式： (2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前n项和． 6．（23·24高二上·河南信阳·期末）设为数列的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 求数列的前n项和 知识点一．公式法 （1）等差数列的前n项和