专题03 求数列的通项公式（六大题型，重难点突破）-【课后优辅导】2024年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题03 求数列的通项公式 知识点一 公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 知识点二 累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 知识点三 累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 知识点四 构造数列法： 形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 方法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 方法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 知识点五 对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 知识点六 倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 知识点七 已知前n项和求通项公式： 对于给出关于与的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择．一个方向是转化为的形式，手段是使用类比作差法，使=（，），故得到数列的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将转化为（，），先考虑与的关系式，继而得到数列的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前项和的形式不够独立的情况． 简而言之，求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围． 题型一：公式法 例1．（2024下·甘肃定西·高二统考开学考试）已知等差数列满足：的前项和为. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)令，求数列的前项和. 例2．（2024上·河南洛阳·高二统考期末）已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为的等比数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 变式训练1．（2024上·江西·高三校联考期末）已知等比数列的首项，公比为，的项和为且，，成等差数列. (1)求的通项： (2)若，，求的前项和. 变式训练2．（2024上·安徽亳州·高三统考期末）记正项等比数列､等差数列的前项和分别为，已知，. (1)求和的通项公式； (2)设集合，求中元素的个数. 题型二：累加法 例3．（2024下·山东·高三校联考开学考试）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和． 例4．（2023上·河北保定·高三校联考阶段练习）已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 变式训练3．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期中）已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，且，求数列的前项和． 变式训练4．（2024·云南大理·统考模拟预测）在数列中，，且数列是等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 题型三：累乘法 例5．（2024上·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）已知，若. (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和. 例6．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）已知数列数列满足， ，其中n∈N*． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 变式训练5．（2023上·河北衡水·高三校考阶段练习）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)，求． 变式训练6．（2023上·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和，并求出的取值范围. 题型四：已知