专题02 等比数列（九大题型，重难点突破）-【课后优辅导】2024年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题02 等比数列 知识点一．等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． 知识二．等比数列的有关公式 （1）等比数列的通项公式 设点等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注： ①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 知识点三．等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2） ①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． 【解题方法总结】 （1）若，则． （2）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． （3）当，时，是成等比数列的充要条件，此时． （4）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间 项的平方． （5）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列 重难点题型一：等比数列的基本运算 例1．（2024·安徽黄山·统考一模）已知是以为公比的等比数列，，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2024上·广东茂名·高二统考期末）已知等比数列满足，，则 ． 变式训练1．（2024上·江苏泰州·高二统考期末）已知等比数列的各项均为正数，若，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 变式训练2．（2023上·全国·高二专题练习）在等差数列中，，公差为d，且成等比数列，则d= ． 重难点题型二：等比数列的判定与证明 例3．（2024上·河北石家庄·高三石家庄市第二十四中学校联考期末）已知正项数列满足. (1)证明:数列是等比数列; (2)若，数列的前项和为.证明:. 例4．（2024上·云南昭通·高二昭通市第一中学校联考期末）已知数列的首项. (1)若数列满足，证明：数列是等比数列； (2)若数列是以3为公比的等比数列，证明：数列是等差数列. 变式训练3．（2024下·河南·高三校联考开学考试）记数列的前项和为. (1)证明为等比数列，并求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求使不等式成立的的最大值. 变式训练4．（2024·山西临汾·统考一模）已知数列的首项，且满足，等比数列的首项，且满足. (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 重难点题型三：等比数列项的性质应用 例5．（2023上·江苏南京·高二南京外国语学校校考期末）已知递增等差数列中，且是，的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（    ） A．180 B．198 C．189 D．168 例6．（2024上·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期末）正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式训练5．（2024上·广东·高二校联考期末）（多选题）已知是等差数列，公差不为0，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 变式训练6．（2022下·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）正项递增等比数列，若，，则 ． 重难点题型四：等比中项 例7．（2023·北京东城·统考一模）已知，，，，成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为（    ） A．－64 B．－8 C． D． 例8．（2024下·青海西宁·高三湟川中学校考开学考试）在等比数列中，若，，则 ． 变式训练7．（2024上·福建厦门·高二统考期末）已知等比数列满足，，则（    ） A． B． C．3 D． 变式训练8．（2023下·西藏日喀则·高二统考期末）已知等差数列的公差为2，前项和为，若成等比数列，则（    ） A．16 B．64 C．72 D．128 重难点题型五：等比数列的前n项和 例9．（2024下·河南·高二校联考开学考试）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．324 B．420 C．480 D．768 例10．（2024下·上海·高三校考阶段练习）记为等比数列的前n项和，若，，则 ． 变式训练9．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）已知数列是首项为1的等比数列，前n项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 变式训练10．（2024上·江苏常州